東京工業大学 2006年 理系 第2問 解説

方針・初手

(1) は、関数 $g(t)$ を $t$ について微分し、増減表を作成して極値を求める基本的な微分の問題である。 (2) は、「すべての $t > 0$ に対して不等式が成り立つ」という条件を、「$t > 0$ における左辺の関数の最小値が $m$ 以上である」という条件に読み替える定石を用いる。これにより、$x$ と $y$ の満たすべき不等式が導かれ、領域を図示できる。 (3) は、(2) で求めた領域の上下関係をもとに定積分を立式し、部分積分を用いて面積を計算する。

解法1

(1)

$g(t) = \frac{1}{b}t^b - \log t \quad (t > 0)$ $t$ で微分すると、

$$ \begin{aligned} g'(t) &= \frac{1}{b} \cdot b t^{b-1} - \frac{1}{t} \\ &= t^{b-1} - t^{-1} \\ &= \frac{t^b - 1}{t} \end{aligned} $$

$b > 0$ であり、$t > 0$ の範囲において $g'(t) = 0$ となるのは $t^b = 1$、すなわち $t = 1$ のときのみである。 $0 < t < 1$ のとき、$t^b < 1$ より $g'(t) < 0$ となる。 $t > 1$ のとき、$t^b > 1$ より $g'(t) > 0$ となる。

したがって、$t > 0$ における $g(t)$ の増減表は以下のようになる。

極小値は $t = 1$ のときで、

$$ g(1) = \frac{1}{b} \cdot 1^b - \log 1 = \frac{1}{b} $$

極大値は存在しない。

(2)

条件 (a) より $x > 0, y > 0$ である。 条件 (b) の不等式において、$h(t) = \frac{1}{y}t^x - \log t$ とおく。 条件 (b) は「$t > 0$ における $h(t)$ の最小値が $m$ 以上である」ことと同値である。 (1) の結果において $b$ を $x$ に置き換えると、$h(t)$ の増減を調べる計算と同様になる。

$$ h'(t) = \frac{x}{y}t^{x-1} - \frac{1}{t} = \frac{\frac{x}{y}t^x - 1}{t} $$

$h'(t) = 0$ とすると、$t^x = \frac{y}{x}$ である。$x > 0, y > 0$ より $\frac{y}{x} > 0$ であるから、

$$ t = \left( \frac{y}{x} \right)^{\frac{1}{x}} $$

この値を $t_0$ とおく。$h'(t)$ の符号は $t = t_0$ の前後で負から正に変わるため、$h(t)$ は $t = t_0$ で最小値をとる。

$$ \begin{aligned} h(t_0) &= \frac{1}{y} \left\{ \left( \frac{y}{x} \right)^{\frac{1}{x}} \right\}^x - \log \left( \frac{y}{x} \right)^{\frac{1}{x}} \\ &= \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x} - \frac{1}{x} \log \frac{y}{x} \\ &= \frac{1}{x} - \frac{1}{x} (\log y - \log x) \\ &= \frac{1 - \log y + \log x}{x} \end{aligned} $$

条件 (b) より $h(t_0) \geqq m$ であるから、

$$ \frac{1 - \log y + \log x}{x} \geqq m $$

$x > 0$ より両辺に $x$ を掛けて整理すると、

$$ \begin{aligned} 1 - \log y + \log x &\geqq mx \\ \log y - \log x &\leqq 1 - mx \\ \log \frac{y}{x} &\leqq 1 - mx \\ \frac{y}{x} &\leqq e^{1-mx} \\ y &\leqq x e^{1-mx} \end{aligned} $$

条件 (a) $y > x$ と合わせると、領域 $D$ を表す不等式は

$$ x < y \leqq x e^{1-mx} $$

となる。 これを満たす $y$ が存在するためには $x < x e^{1-mx}$ が必要であり、$x > 0$ より $1 < e^{1-mx}$、すなわち $1 - mx > 0$ となる。 $m > 0$ より、$x$ の取りうる値の範囲は $0 < x < \frac{1}{m}$ である。

境界線の曲線 $y = x e^{1-mx}$ について、$f(x) = x e^{1-mx}$ とおいてグラフの概形を調べる。

$$ \begin{aligned} f'(x) &= 1 \cdot e^{1-mx} + x \cdot (-m)e^{1-mx} \\ &= (1 - mx)e^{1-mx} \end{aligned} $$

$x < \frac{1}{m}$ において $f'(x) > 0$ であるから、$f(x)$ は単調に増加する。 また、

$$ f\left(\frac{1}{m}\right) = \frac{1}{m} e^0 = \frac{1}{m} $$

であるから、曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = x$ は点 $\left( \frac{1}{m}, \frac{1}{m} \right)$ で交わる。さらに $\lim_{x \to +0} f(x) = 0$ である。 したがって、領域 $D$ は曲線 $y = x e^{1-mx}$ と直線 $y = x$ で囲まれた図形のうち、$0 < x < \frac{1}{m}$ の部分である。

境界線は、曲線 $y = x e^{1-mx}$ 上は含み、直線 $y = x$ 上および点 $(0, 0), \left( \frac{1}{m}, \frac{1}{m} \right)$ は含まない。図示すると以下の概形になる。 （$xy$ 平面において、原点と点 $\left( \frac{1}{m}, \frac{1}{m} \right)$ を結ぶ線分より上にあり、原点から上に凸で立ち上がり点 $\left( \frac{1}{m}, \frac{1}{m} \right)$ に至る曲線 $y = x e^{1-mx}$ より下にある領域）

(3)

(2) より、領域 $D$ においてはつねに $x e^{1-mx} > x$ が成り立つ。 求める面積を $S$ とすると、

$$ \begin{aligned} S &= \int_{0}^{\frac{1}{m}} \left( x e^{1-mx} - x \right) dx \\ &= \int_{0}^{\frac{1}{m}} x e^{1-mx} dx - \int_{0}^{\frac{1}{m}} x dx \end{aligned} $$

第1項の積分は、部分積分法を用いて計算する。

$$ \begin{aligned} \int_{0}^{\frac{1}{m}} x e^{1-mx} dx &= \int_{0}^{\frac{1}{m}} x \left( -\frac{1}{m} e^{1-mx} \right)' dx \\ &= \left[ -\frac{x}{m} e^{1-mx} \right]_{0}^{\frac{1}{m}} - \int_{0}^{\frac{1}{m}} 1 \cdot \left( -\frac{1}{m} e^{1-mx} \right) dx \\ &= \left( -\frac{1}{m^2} e^0 - 0 \right) + \frac{1}{m} \int_{0}^{\frac{1}{m}} e^{1-mx} dx \\ &= -\frac{1}{m^2} + \frac{1}{m} \left[ -\frac{1}{m} e^{1-mx} \right]_{0}^{\frac{1}{m}} \\ &= -\frac{1}{m^2} - \frac{1}{m^2} \left( e^0 - e^1 \right) \\ &= -\frac{1}{m^2} - \frac{1}{m^2} (1 - e) \\ &= \frac{e - 2}{m^2} \end{aligned} $$

第2項の積分は、

$$ \int_{0}^{\frac{1}{m}} x dx = \left[ \frac{1}{2} x^2 \right]_{0}^{\frac{1}{m}} = \frac{1}{2m^2} $$

よって、面積 $S$ は

$$ \begin{aligned} S &= \frac{e - 2}{m^2} - \frac{1}{2m^2} \\ &= \frac{2e - 4 - 1}{2m^2} \\ &= \frac{2e - 5}{2m^2} \end{aligned} $$

解説

すべての実数に対して不等式が成立する条件を求める問題では、関数の最小値や最大値の問題に帰着させることが非常に有効である。本問の (2) では、(1) の結果を活用して関数の最小値を求め、それを $m$ 以上とすることで領域の不等式を導出できる構成になっている。面積計算の積分においては、$xe^{ax+b}$ の形をしているため、指数関数側を微分形とみなして部分積分を実行する典型的な処理が求められる。

答え

(1) $0 < t < 1$ で単調減少、$t > 1$ で単調増加。極小値は $t=1$ のとき $\frac{1}{b}$ （極大値はなし）。

(2) 領域 $D$ は、不等式 $x < y \leqq x e^{1-mx}$ を満たす領域である。 $xy$ 平面上において、曲線 $y = x e^{1-mx}$ と直線 $y = x$ で囲まれた部分（$0 < x < \frac{1}{m}$）となる。 境界線については、曲線 $y = x e^{1-mx}$ の部分は含み、直線 $y = x$ の部分および交点 $(0, 0), \left( \frac{1}{m}, \frac{1}{m} \right)$ は含まない。

(3) $\frac{2e - 5}{2m^2}$