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名古屋大学 2010年理系第2問解説

方針・初手

(1) 導関数 $f'(x)$ および第2次導関数 $f''(x)$ を計算し、関数の増減とグラフの凹凸を調べる。また、与えられた極限の式を用いて漸近線を求めることで、グラフの概形を描くことができる。

(2) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(t, f(t))$ における接線の方程式を求め、それが点 $(0, a)$ を通るという条件から、$t$ についての方程式を導く。接線が1本だけ存在するということは、この $t$ の方程式が実数解をただ1つ持つことと同値である。定数 $a$ が分離された形になるので、新たな関数 $g(t)$ を定義してグラフの増減を調べ、$y = g(t)$ と直線 $y = a$ の共有点の個数を考察する。

解法1

(1)

与えられた関数は $f(x) = (x^2 - x)e^{-x}$ である。第1次導関数 $f'(x)$ は、積の微分公式より

$$ \begin{aligned} f'(x) &= (2x - 1)e^{-x} + (x^2 - x)(-e^{-x}) \\ &= (-x^2 + 3x - 1)e^{-x} \end{aligned} $$

第2次導関数 $f''(x)$ は、

$$ \begin{aligned} f''(x) &= (-2x + 3)e^{-x} + (-x^2 + 3x - 1)(-e^{-x}) \\ &= (x^2 - 5x + 4)e^{-x} \\ &= (x - 1)(x - 4)e^{-x} \end{aligned} $$

$f''(x) = 0$ となる $x$ の値は $x = 1, 4$ である。また、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値は、$-x^2 + 3x - 1 = 0$ より $x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$ である。 $\alpha = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, \beta = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ とおくと、$0 < \alpha < 1 < \beta < 4$ である。 $x$ の各区間における増減と凹凸は以下の表のようになる。

$x$	$\cdots$	$\alpha$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$\beta$	$\cdots$	$4$	$\cdots$
$f'(x)$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$0$	$-$	$-$	$-$
$f''(x)$	$+$	$+$	$+$	$0$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\searrow$	極小	$\nearrow$	変曲点	$\nearrow$	極大	$\searrow$	変曲点	$\searrow$

$x = 1$ のとき、$f(1) = 0$。 $x = 4$ のとき、$f(4) = 12e^{-4}$。したがって、変曲点は $(1, 0)$ および $(4, 12e^{-4})$ である。

また、極限について調べる。与えられた条件 $\lim_{x \to \infty} x^n e^{-x} = 0$ より、

$$ \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} (x^2e^{-x} - xe^{-x}) = 0 - 0 = 0 $$

一方、$x \to -\infty$ のときは、

$$ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} x^2 \left(1 - \frac{1}{x}\right) e^{-x} = \infty $$

となる。以上より、グラフは $x$ 軸 ($y=0$) を右側の漸近線にもつ。極小値は負、極大値は正であり、原点を通る概形となる。

(2)

曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(t, f(t))$ における接線の方程式は、

$$ y - (t^2 - t)e^{-t} = (-t^2 + 3t - 1)e^{-t}(x - t) $$

すなわち、

$$ y = (-t^2 + 3t - 1)e^{-t}x + (t^3 - 3t^2 + t + t^2 - t)e^{-t} $$

$$ y = (-t^2 + 3t - 1)e^{-t}x + (t^3 - 2t^2)e^{-t} $$

この接線が点 $(0, a)$ を通るので、$x = 0, y = a$ を代入して、

$$ a = (t^3 - 2t^2)e^{-t} $$

接線がただ1本存在するためには、この $t$ についての方程式が実数解をただ1つ持てばよい。 $g(t) = (t^3 - 2t^2)e^{-t}$ とおき、関数 $g(t)$ の増減を調べる。

$$ \begin{aligned} g'(t) &= (3t^2 - 4t)e^{-t} - (t^3 - 2t^2)e^{-t} \\ &= (-t^3 + 5t^2 - 4t)e^{-t} \\ &= -t(t^2 - 5t + 4)e^{-t} \\ &= -t(t - 1)(t - 4)e^{-t} \end{aligned} $$

$g'(t) = 0$ となるのは $t = 0, 1, 4$ のときである。増減表は以下のようになる。

$t$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$4$	$\cdots$
$g'(t)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$g(t)$	$\nearrow$	$0$	$\searrow$	$-e^{-1}$	$\nearrow$	$32e^{-4}$	$\searrow$

極限は $\lim_{t \to \infty} g(t) = 0$、$\lim_{t \to -\infty} g(t) = -\infty$ である。 $a > 0$ であるから、直線 $y = a$ と曲線 $y = g(t)$ がただ1つの共有点をもつのは、グラフが極大となる $t=4$ で接するときのみである。したがって、求める $a$ の値は、

$$ a = 32e^{-4} $$

このとき、接点の $x$ 座標は $t = 4$ であり、接線の方程式は、

$$ \begin{aligned} y &= (-16 + 12 - 1)e^{-4}x + 32e^{-4} \\ &= -5e^{-4}x + 32e^{-4} \end{aligned} $$

次に、曲線 $y = f(x)$、この接線、および $y$ 軸で囲まれた図形の面積 $S$ を求める。区間 $0 \leqq x \leqq 4$ において、$x=0$ のとき接線の $y$ 座標は $32e^{-4} > 0 = f(0)$ であり、区間 $0 \leqq x < 4$ では常に接線が曲線の上側にある。

面積 $S$ は、接線の下の台形の面積から曲線の下の面積を引いたものとして計算できる。台形の面積 $S_1$ は、

$$ S_1 = \frac{1}{2} \cdot \{32e^{-4} + (-20e^{-4} + 32e^{-4})\} \cdot 4 = \frac{1}{2} \cdot (32e^{-4} + 12e^{-4}) \cdot 4 = 88e^{-4} $$

曲線の定積分 $I = \int_{0}^{4} f(x) dx$ は、部分積分を用いて計算する。

$$ \int e^{-x} dx = -e^{-x} + C $$

$$ \int x e^{-x} dx = -xe^{-x} + \int e^{-x} dx = -(x+1)e^{-x} + C $$

$$ \begin{aligned} \int x^2 e^{-x} dx &= -x^2 e^{-x} + 2\int x e^{-x} dx \\ &= -x^2 e^{-x} - 2(x+1)e^{-x} + C \\ &= -(x^2 + 2x + 2)e^{-x} + C \end{aligned} $$

これらを用いると、

$$ \begin{aligned} \int (x^2 - x)e^{-x} dx &= -(x^2 + 2x + 2)e^{-x} + (x+1)e^{-x} + C \\ &= -(x^2 + x + 1)e^{-x} + C \end{aligned} $$

したがって、

$$ \begin{aligned} I &= \left[ -(x^2 + x + 1)e^{-x} \right]_{0}^{4} \\ &= -(16 + 4 + 1)e^{-4} - (-1) \\ &= -21e^{-4} + 1 \end{aligned} $$

求める面積 $S$ は、

$$ \begin{aligned} S &= S_1 - I \\ &= 88e^{-4} - (-21e^{-4} + 1) \\ &= 109e^{-4} - 1 \end{aligned} $$

解説

(1) は微分法を用いて関数の増減と凹凸を調べる標準的な問題である。積の微分公式を正確に適用し、$e^{-x}$ でくくることで多項式部分の符号変化に帰着させることがポイントとなる。極限についての指定があるため、漸近線をもつことに注意してグラフの概形を捉える。

(2) は「曲線外の点から引いた接線の本数」を「接点の座標 $t$ に関する方程式の実数解の個数」に帰着させる定石を用いる。定数 $a$ が分離された形 $a = g(t)$ となるため、関数 $g(t)$ の増減を調べてグラフと直線 $y = a$ の共有点の個数を視覚的に考察する。面積の計算では、部分積分を繰り返し用いることになる。$\int x^2 e^{-x} dx$ 等の不定積分をあらかじめ求めておくと計算ミスを防ぎやすい。