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東京大学 2005年理系第1問解説

方針・初手

（1）は $n$ に関する命題であるから、数学的帰納法を用いて証明する。その過程で $n=k$ の式を微分し、$n=k+1$ の形と比較することで $a_{n+1}, b_{n+1}$ を $a_n, b_n$ で表す関係式（漸化式）が自然に導かれる。（2）は（1）で求めた漸化式を解く。（1）の結果から $b_n$ の一般項を先に求め、$a_n$ の漸化式の両辺を $(-1)^{n+1}(n+1)!$ で割ることで階差数列の形に帰着させる。

解法1

(1)

$n$ についての数学的帰納法で示す。

(I)

$n=1$ のとき

$$ f'(x) = \frac{(\log x)' \cdot x - \log x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \log x}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2} $$

これより、

$$ f^{(1)}(x) = \frac{1 - \log x}{x^{1+1}} $$

となり、$a_1 = 1, b_1 = -1$ とすれば与式は成り立つ。

(II)

$n=k$ ($k=1,2,\cdots$) のとき成り立つと仮定する。すなわち、

$$ f^{(k)}(x) = \frac{a_k + b_k \log x}{x^{k+1}} $$

と表されると仮定する。この両辺を $x$ で微分すると、商の微分法より

$$ f^{(k+1)}(x) = \frac{(a_k + b_k \log x)' x^{k+1} - (a_k + b_k \log x) (x^{k+1})'}{(x^{k+1})^2} $$

$$ f^{(k+1)}(x) = \frac{\frac{b_k}{x} \cdot x^{k+1} - (a_k + b_k \log x) \cdot (k+1)x^k}{x^{2k+2}} $$

分子を整理して、

$$ f^{(k+1)}(x) = \frac{b_k x^k - (k+1)a_k x^k - (k+1)b_k x^k \log x}{x^{2k+2}} = \frac{\{ b_k - (k+1)a_k \} - (k+1)b_k \log x}{x^{k+2}} $$

これが $f^{(k+1)}(x) = \frac{a_{k+1} + b_{k+1} \log x}{x^{k+2}}$ と一致すればよいから、

$$ a_{k+1} = -(k+1)a_k + b_k $$

$$ b_{k+1} = -(k+1)b_k $$

と定めれば、$n=k+1$ のときも成り立つ。

（I）, （II）より、すべての自然数 $n$ について与式のように表されることが示された。また、$a_n, b_n$ の漸化式は、

$$ a_{n+1} = -(n+1)a_n + b_n $$

$$ b_{n+1} = -(n+1)b_n $$

である。

(2)

（1）で求めた $b_n$ の漸化式より、数列 $\{b_n\}$ は、

$$ b_n = b_1 \cdot (-2) \cdot (-3) \cdots (-n) = (-1) \cdot (-1)^{n-1} n! = (-1)^n n! $$

これを $a_n$ の漸化式に代入する。

$$ a_{n+1} = -(n+1)a_n + (-1)^n n! $$

両辺を $(-1)^{n+1} (n+1)!$ で割ると、

$$ \frac{a_{n+1}}{(-1)^{n+1}(n+1)!} = \frac{-(n+1)a_n}{(-1)^{n+1}(n+1)!} + \frac{(-1)^n n!}{(-1)^{n+1}(n+1)!} $$

$$ \frac{a_{n+1}}{(-1)^{n+1}(n+1)!} = \frac{a_n}{(-1)^n n!} - \frac{1}{n+1} $$

ここで、$c_n = \frac{a_n}{(-1)^n n!}$ とおくと、

$$ c_{n+1} - c_n = -\frac{1}{n+1} $$

$n \geqq 2$ のとき、

$$ c_n = c_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \left( -\frac{1}{k+1} \right) = c_1 - \sum_{k=2}^n \frac{1}{k} $$

$c_1 = \frac{a_1}{(-1)^1 1!} = \frac{1}{-1} = -1$ であるから、

$$ c_n = -1 - \sum_{k=2}^n \frac{1}{k} = - \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = -h_n $$

これは $n=1$ のとき $c_1 = -h_1 = -1$ となり成り立つ。したがって、

$$ \frac{a_n}{(-1)^n n!} = -h_n $$

$$ a_n = (-1)^{n+1} n! h_n $$

解説

高次導関数の形を推測し、数学的帰納法を用いて証明する微積分と数列の融合問題における典型的な出題である。帰納法のステップで微分計算を正確に行い、係数を比較する手順を確実に踏むことが求められる。

(2)の漸化式を解く部分では、$b_n$ が階乗を含む形になるため、$a_n$ の漸化式の両辺を階乗を伴う適切な式で割って階差数列の形に持ち込む処理がポイントとなる。このように $a_{n+1} = p n a_n + q_n$ のような形をした漸化式は、両辺を $n!$ やそれに類するもので割る変形が定石である。