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東京工業大学 2018年理系第2問解説

方針・初手

(1) 3変数の一次不定方程式の特殊解を求める問題である。係数 $35, 91, 65$ のうち、$35$ と $65$ が $5$ の倍数であることに着目し、式を $5(7x + 13z) + 91y = 3$ と整理して $1$ 変数（あるいはブロック）ごとに値を絞り込んでいくのが定石である。

(2) (1)で特殊解を見つけていれば、それを用いて一般解を構成できる。また、方程式を $65z = 3 - 35x - 91y$ と変形し、$z$ が整数になるための条件、すなわち右辺が $65$ の倍数（$5$ の倍数かつ $13$ の倍数）になる条件を合同式を用いて処理することで、$x, y$ の満たすべき条件を互いに独立な形で導き出せる。

解法1

(1)

与えられた方程式は以下の通りである。

$$ 35x + 91y + 65z = 3 $$

$35$ と $65$ は $5$ の倍数であるから、$x, z$ の項をまとめて次のように変形する。

$$ 5(7x + 13z) + 91y = 3 $$

ここで、$X = 7x + 13z$ とおくと、方程式は $5X + 91y = 3$ となる。 $91 = 5 \times 18 + 1$ であるから、次のように整理できる。

$$ 5(X + 18y) + y = 3 $$

$y$ は整数であるから、この式を満たす $y$ のうち絶対値が小さいものとして $y = -2$ を考える。 $y = -2$ を代入すると、

$$ 5(X - 36) - 2 = 3 $$

$$ 5(X - 36) = 5 $$

$$ X - 36 = 1 $$

$$ X = 37 $$

すなわち、$7x + 13z = 37$ を満たす整数 $x, z$ を見つければよい。 $x, z$ の組を直感的に探すと、$7 \times (-4) = -28$、$13 \times 5 = 65$ であり、$-28 + 65 = 37$ となるため、$x = -4, z = 5$ が解の一つとして見つかる。

以上より、方程式を満たす整数の組 $(x, y, z)$ の一つは、

$$ (x, y, z) = (-4, -2, 5) $$

(2)

方程式 $35x + 91y + 65z = 3$ を $z$ について解く形に変形する。

$$ 65z = 3 - 35x - 91y $$

$z$ が整数となるためには、右辺 $3 - 35x - 91y$ が $65$ の倍数でなければならない。 $65 = 5 \times 13$ であり、$5$ と $13$ は互いに素であるから、右辺が $5$ の倍数かつ $13$ の倍数になる条件をそれぞれ求める。

条件1：$5$ の倍数であること

を法とする合同式で考える。 $35 \equiv 0 \pmod 5$、$91 \equiv 1 \pmod 5$ であるから、

$$ 3 - 0 \cdot x - 1 \cdot y \equiv 0 \pmod 5 $$

$$ y \equiv 3 \pmod 5 $$

これは $y \equiv -2 \pmod 5$ と等しい。したがって、$k$ を整数として $y = 5k - 2$ と表せる。

条件2：$13$ の倍数であること

$13$ を法とする合同式で考える。 $91 = 13 \times 7 \equiv 0 \pmod{13}$、$35 = 13 \times 2 + 9 \equiv 9 \pmod{13}$ であるから、

$$ 3 - 9x - 0 \cdot y \equiv 0 \pmod{13} $$

$$ 9x \equiv 3 \pmod{13} $$

$3$ と $13$ は互いに素であるから、両辺を $3$ で割って、

$$ 3x \equiv 1 \pmod{13} $$

両辺に $9$ を掛けると、

$$ 27x \equiv 9 \pmod{13} $$

$27 = 13 \times 2 + 1 \equiv 1 \pmod{13}$ であるから、

$$ x \equiv 9 \pmod{13} $$

これは $x \equiv -4 \pmod{13}$ と等しい。したがって、$l$ を整数として $x = 13l - 4$ と表せる。

求めた $x, y$ を元の式に代入し、$z$ が整数になるか確認しつつ一般解を求める。

$$ 65z = 3 - 35(13l - 4) - 91(5k - 2) $$

$$ 65z = 3 - 455l + 140 - 455k + 182 $$

$$ 65z = 325 - 455l - 455k $$

両辺を $65$ で割ると、

$$ z = 5 - 7l - 7k $$

$k, l$ が整数のとき、$z$ も整数となるため、これが一般解である。

次に、$x^2 + y^2$ の最小値を考える。

$$ x^2 + y^2 = (13l - 4)^2 + (5k - 2)^2 $$

ここで、$k$ と $l$ は互いに独立な整数であるため、$x^2$ と $y^2$ をそれぞれ独立に最小化すればよい。

$x^2 = (13l - 4)^2$ について、 $l = 0$ のとき $(-4)^2 = 16$ $l = 1$ のとき $9^2 = 81$ よって、$l = 0$ のときに最小値 $16$ をとる。

$y^2 = (5k - 2)^2$ について、 $k = 0$ のとき $(-2)^2 = 4$ $k = 1$ のとき $3^2 = 9$ よって、$k = 0$ のときに最小値 $4$ をとる。

以上より、$x^2 + y^2$ の最小値は $16 + 4 = 20$ である。このときの $x, y$ の値は $x = -4$、$y = -2$ であり、対応する $z$ の値は、

$$ z = 5 - 7 \cdot 0 - 7 \cdot 0 = 5 $$

となる。

解説

3変数の一次不定方程式の典型問題である。変数が3つあると複雑に見えるが、合同式を活用して係数の大きい変数を消去したり、共通の素因数を持つ項をまとめたりすることで、2変数の問題に帰着できる。

(2) においては、$x, y$ の一般解が別々のパラメータ（本解における $l$ と $k$）で表されることに気づけるかが鍵となる。もし(1)で求めた $(x_0, y_0, z_0)$ を用いて $35(x-x_0) + 91(y-y_0) + 65(z-z_0) = 0$ から出発する解法を選んだ場合、パラメータの設定が煩雑になり、独立変数であることを見落とす危険性がある。本解のように $65$ （$5$ と $13$ の積）を法とするアプローチを取ると、$x$ と $y$ の条件が完全に分離されるため、平方和の最小化が非常に容易になる。