トップ› 東京工業大学› 2022年› 理系第1問

東京工業大学 2022年理系第1問解説

方針・初手

複素数 $z$ を固定したとき、条件を満たす実数 $a, b$ が存在するかどうかを考える「逆像法（存在条件）」でアプローチする。

方程式が実数係数であることから、$z$ が実数の場合と虚数の場合で性質が異なるため、場合分けをして考える。虚数解の場合は「解と係数の関係」を利用してパラメータを消去し、実数解の場合は方程式を満たす $a, b$ の存在範囲を調べる。

解法1

$z = x + yi$ （$x, y$ は実数）とおく。

$f(z) = 0$ より、

$$ z^2 + az + b = 0 $$

(i)

$z$ が虚数（$y \neq 0$）のとき

実数係数の2次方程式が虚数解 $z$ を持つならば、共役複素数 $\bar{z} = x - yi$ も解となる。解と係数の関係から、

$$ z + \bar{z} = -a $$

$$ z \bar{z} = b $$

これらより、

$$ a = -2x $$

$$ b = x^2 + y^2 $$

$a, b$ が満たすべき条件 $|a| \leqq 1$、$|b| \leqq 1$ に代入すると、

$$ |-2x| \leqq 1 \iff -\frac{1}{2} \leqq x \leqq \frac{1}{2} $$

$$ |x^2 + y^2| \leqq 1 \iff x^2 + y^2 \leqq 1 $$

ただし、$y \neq 0$ であるから、この領域のうち実軸上の点は除く。

(ii)

$z$ が実数（$y = 0$）のとき

$z = x$ であり、方程式は以下のように変形できる。

$$ x^2 + ax + b = 0 \iff b = -ax - x^2 $$

与えられた条件 $|b| \leqq 1$ より、

$$ -1 \leqq -ax - x^2 \leqq 1 $$

$$ x^2 - 1 \leqq ax \leqq x^2 + 1 $$

これを満たす実数 $a$ （$|a| \leqq 1$）が存在するための実数 $x$ の条件を求める。

$-1 \leqq a \leqq 1$ における $ax$ のとりうる値の範囲は区間 $[- |x|, |x|]$ である。この区間が、区間 $[x^2-1, x^2+1]$ と共通部分を持つことが、条件を満たす $a$ が存在する条件である。

すなわち、

$$ -|x| \leqq x^2 + 1 \quad \text{かつ} \quad x^2 - 1 \leqq |x| $$

前半の不等式は $x^2 + |x| + 1 \geqq 0$ となり、すべての実数 $x$ に対して成り立つ。

後半の不等式を整理すると、

$$ x^2 - |x| - 1 \leqq 0 $$

$$ \left( |x| - \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right) \left( |x| - \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right) \leqq 0 $$

$|x| \geqq 0$ および $\frac{1-\sqrt{5}}{2} < 0$ であるから、

$$ |x| \leqq \frac{1+\sqrt{5}}{2} $$

よって、

$$ -\frac{1+\sqrt{5}}{2} \leqq x \leqq \frac{1+\sqrt{5}}{2} $$

が得られる。これは複素数平面上において実軸上の線分を表す。

（i）と（ii）より、求める領域は、・$x^2 + y^2 \leqq 1$ かつ $-\frac{1}{2} \leqq x \leqq \frac{1}{2}$ （実軸上の点を除く）・$-\frac{1+\sqrt{5}}{2} \leqq x \leqq \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ かつ $y = 0$ （実軸上の線分）の和集合である。

前者の領域の実軸上の境界点は $-1 \leqq x \leqq 1$ であり、$\frac{1+\sqrt{5}}{2} > 1$ であるため、これは後者の線分に完全に含まれる。