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東京大学 1980年文系第3問解説

方針・初手

与えられた不等式 $a + b + c + d \leqq n$ の両辺を2乗し、方程式 $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = n^2 - 6$ の条件を代入することで、変数 $a, b, c, d$ に関する強力な絞り込みの不等式を導くことができる。変数はすべて0以上の整数であり、大小関係 $a \geqq b \geqq c \geqq d$ が設定されているため、値の小さい $d$ や $c$ から場合分けをしていくことで、候補を有限個に絞り込める。

解法1

与えられた条件は以下の通りである。

$$ \begin{cases} a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = n^2 - 6 & \cdots \text{①} \\ a + b + c + d \leqq n & \cdots \text{②} \\ a \geqq b \geqq c \geqq d \geqq 0 & \cdots \text{③} \end{cases} $$

条件③より $a, b, c, d$ はすべて0以上の整数であるから、$a + b + c + d \geqq 0$ である。条件②の両辺はともに0以上であるため、両辺を2乗しても不等号の向きは変わらない。

$$ (a + b + c + d)^2 \leqq n^2 $$

左辺を展開すると、以下のようになる。

$$ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd) \leqq n^2 $$

これに条件①の $n^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 6$ を代入する。

$$ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd) \leqq a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 6 $$

両辺から $a^2 + b^2 + c^2 + d^2$ を引き、2で割ることで次の不等式を得る。

$$ ab + ac + ad + bc + bd + cd \leqq 3 \quad \cdots \text{④} $$

条件③より各変数は0以上であるから、④の左辺の各項もすべて0以上の整数である。ここで、変数の大小関係に注目して場合分けを行う。

(i)

$d \geqq 1$ の場合

条件③より $a \geqq 1, b \geqq 1, c \geqq 1$ となる。このとき、④の左辺は $1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 6$ 以上となり、④を満たさない。したがって、$d = 0$ である。

(ii)

$d = 0$ かつ $c \geqq 1$ の場合

$d = 0$ のとき、不等式④は次のように簡単になる。

$$ ab + bc + ca \leqq 3 \quad \cdots \text{⑤} $$

$c \geqq 1$ であるから、条件③より $a \geqq 1, b \geqq 1$ である。もし $a \geqq 2$ とすると、$a \geqq b \geqq c \geqq 1$ より $ab \geqq 2, bc \geqq 1, ca \geqq 2$ となり、左辺は $2+1+2=5$ 以上となるため⑤を満たさない。したがって $a = 1$ であり、大小関係から $b = 1, c = 1$ も確定する。このとき、条件①に代入すると、

$$ 1^2 + 1^2 + 1^2 + 0^2 = n^2 - 6 \iff n^2 = 9 $$

$n$ は0以上の整数であるから $n = 3$ である。この組 $(n, a, b, c, d) = (3, 1, 1, 1, 0)$ について条件②を確認すると、$1+1+1+0 = 3 \leqq 3$ となり適する。

(iii)

$d = 0$ かつ $c = 0$ の場合

$c = d = 0$ のとき、不等式⑤はさらに簡単になる。

$$ ab \leqq 3 \quad \cdots \text{⑥} $$

$b \geqq 2$ とすると、条件③より $a \geqq 2$ となり、$ab \geqq 4$ となって⑥を満たさない。したがって、$b = 0$ または $b = 1$ である。

(ア)

$b = 0$ のとき

$b = c = d = 0$ であるから、条件①より $a^2 = n^2 - 6$ となる。これを変形する。

$$ (n - a)(n + a) = 6 $$

$n, a$ はともに0以上の整数であるため、$n + a \geqq n - a$ かつ $n + a \geqq 0$ である。かけて6になる整数の組 $(n-a, n+a)$ は $(1, 6)$ または $(2, 3)$ である。しかし、$(n-a) + (n+a) = 2n$ となるため、2つの因数の和は偶数でなければならないが、$1+6=7, 2+3=5$ となりいずれも奇数である。よって、これを満たす整数解は存在しない。

(イ)

$b = 1$ のとき

$b = 1, c = 0, d = 0$ であるから、⑥より $a \cdot 1 \leqq 3$ すなわち $1 \leqq a \leqq 3$ である。 $a = 1, 2, 3$ のそれぞれについて条件①を確認する。

$a = 1$ のとき、$1^2 + 1^2 = n^2 - 6 \iff n^2 = 8$ となり、満たす整数 $n$ は存在しない。
$a = 2$ のとき、$2^2 + 1^2 = n^2 - 6 \iff n^2 = 11$ となり、満たす整数 $n$ は存在しない。
$a = 3$ のとき、$3^2 + 1^2 = n^2 - 6 \iff n^2 = 16$ となる。$n \geqq 0$ より $n = 4$ である。

この組 $(n, a, b, c, d) = (4, 3, 1, 0, 0)$ について条件②を確認すると、$3+1+0+0 = 4 \leqq 4$ となり適する。

以上 (i) ～ (iii) のすべての場合を尽くしたため、求める組は以上で完答となる。

解説

整数問題における典型的な不等式評価の手法を用いる問題である。方程式のままで整数解を絞り込むのは困難であるが、「和」と「2乗の和」が与えられていることから、$(a+b+c+d)^2$ の展開式を考えることで、変数の積の和の上限を押さえることができる。大小関係 $a \geqq b \geqq c \geqq d \geqq 0$ が設定されているため、最も小さい変数から順に $0$ であるか $1$ 以上であるかを評価していくことで、見通しよく解き進めることが可能である。