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東京大学 1980年文系第4問解説

方針・初手

行列 $A$ の性質を調べることが第一歩である。$A^2$ を計算すると $-I$ になることに気づけば、$Z = xI + yA$ は複素数 $z = x + yi$ と同じ演算規則を満たすことがわかる。これを用いて等式 $(*)$ を $x, y$ の関係式に帰着させる。また、(2) は複素数平面における円の反転と同様の計算を行うことで軌跡を求めることができる。

解法1

(1)

まず、$A^2$ を計算する。

$$ A^2 = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & -a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ -b & -a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 - b^2 & ab - ba \\ -ba + ab & -b^2 + a^2 \end{pmatrix} $$

条件 $a^2 - b^2 = -1$ より、

$$ A^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I $$

となる。次に $Z$ と $Z'$ の積および和を計算する。$Z = xI + yA$, $Z' = xI - yA$ より、

$$ ZZ' = (xI + yA)(xI - yA) = x^2 I - y^2 A^2 $$

$A^2 = -I$ であるから、

$$ ZZ' = (x^2 + y^2)I $$

また、$Z + Z' = 2xI$ である。与えられた等式 $(*)$ すなわち $ZZ' - (Z + Z') - 3I = O$ にこれらを代入すると、

$$ (x^2 + y^2)I - 2xI - 3I = O $$

$$ (x^2 + y^2 - 2x - 3)I = O $$

これが成り立つためには、係数が $0$ でなければならないので、

$$ x^2 + y^2 - 2x - 3 = 0 $$

平方完成して、

$$ (x - 1)^2 + y^2 = 4 $$

したがって、点 $(x, y)$ のつくる曲線は、中心 $(1, 0)$、半径 $2$ の円である。

(2)

$x^2 + y^2 \neq 0$ のとき、(1) の計算より $ZZ' = Z'Z = (x^2 + y^2)I$ が成り立つ。両辺を $x^2 + y^2 \neq 0$ で割ると、

$$ Z \left( \frac{1}{x^2 + y^2} Z' \right) = \left( \frac{1}{x^2 + y^2} Z' \right) Z = I $$

これより $Z$ は正則であり、逆行列 $Z^{-1}$ が存在する。

$$ Z^{-1} = \frac{1}{x^2 + y^2} Z' = \frac{1}{x^2 + y^2} (xI - yA) = \frac{x}{x^2 + y^2} I + \frac{-y}{x^2 + y^2} A $$

ここで、$u = \frac{x}{x^2 + y^2}$, $v = \frac{-y}{x^2 + y^2}$ とおけば、$u, v$ は実数であり、$Z^{-1} = uI + vA$ の形に表される。

次に、点 $(u, v)$ の軌跡を求める。 $u^2 + v^2$ を計算すると、

$$ u^2 + v^2 = \left( \frac{x}{x^2 + y^2} \right)^2 + \left( \frac{-y}{x^2 + y^2} \right)^2 = \frac{x^2 + y^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{1}{x^2 + y^2} $$

$x^2 + y^2 \neq 0$ より $u^2 + v^2 \neq 0$ であり、

$$ x^2 + y^2 = \frac{1}{u^2 + v^2} $$

これを用いて $x, y$ を $u, v$ で表すと、

$$ x = u(x^2 + y^2) = \frac{u}{u^2 + v^2} $$

$$ y = -v(x^2 + y^2) = \frac{-v}{u^2 + v^2} $$

(1) より、等式 $(*)$ をみたす $x, y$ は $x^2 + y^2 - 2x - 3 = 0$ をみたす。この式に上記の $x, y$ を代入する。

$$ \frac{1}{u^2 + v^2} - \frac{2u}{u^2 + v^2} - 3 = 0 $$

両辺に $u^2 + v^2 \neq 0$ を掛けて整理すると、

$$ 1 - 2u - 3(u^2 + v^2) = 0 $$

$$ 3u^2 + 3v^2 + 2u - 1 = 0 $$

両辺を $3$ で割り、平方完成する。

$$ u^2 + \frac{2}{3}u + v^2 = \frac{1}{3} $$

$$ \left( u + \frac{1}{3} \right)^2 + v^2 = \frac{1}{9} + \frac{1}{3} = \frac{4}{9} $$

したがって、点 $(u, v)$ のつくる曲線は、中心 $\left( -\frac{1}{3}, 0 \right)$、半径 $\frac{2}{3}$ の円である。

解説

行列 $A$ が $A^2 = -I$ を満たすことを見抜くのが最大のポイントである。これにより、$Z = xI + yA$ は複素数 $z = x + yi$ と同等の性質を持つことがわかる。 (1) の $Z'$ は複素数の共役 $\bar{z}$ に対応し、(2) の $Z^{-1}$ は複素数の逆数 $\frac{1}{z}$ に対応する。したがって、本問は複素数平面における円の反転（反形）の軌跡を求める問題と本質的に同じ構造を持っている。軌跡を求める際は、$u, v$ の式から $x, y$ を $u, v$ で表し、元の条件式に代入する手法が定石である。