東京大学 2000年 文系 第4問 解説

方針・初手

直線 $l$ の方程式および原点から $l$ に下ろした垂線という条件を、複素数の関係式として定式化する。 その関係式から $w$ を $\alpha, \beta$ を用いて表し、$w = \alpha\beta$ となる条件式を求める。 条件式を変形する過程で、複素数が純虚数（または0）になる性質を利用して絶対値と実部の関係式を導き、円の方程式の形に持ち込むのが目標である。必要十分条件の証明なので、論理の可逆性（必要性と十分性の両方）を意識して論述する。

解法1

点 $R(w)$ が直線 $l$ 上にあるため、$\frac{w - \alpha}{\beta - \alpha}$ は実数である。よって、

$$ \frac{w - \alpha}{\beta - \alpha} = \frac{\bar{w} - \bar{\alpha}}{\bar{\beta} - \bar{\alpha}} $$

が成り立つ。 また、点 $R(w)$ は原点から直線 $l$ に下ろした垂線の足である。 $R$ が原点と一致しないとき、$OR \perp l$ より $\frac{w}{\beta - \alpha}$ は純虚数である。 $R$ が原点と一致するときは $w=0$ であり、$\frac{0}{\beta - \alpha} = 0$ も純虚数の条件（実部が0）を満たす。よって、いずれの場合も

$$ \frac{w}{\beta - \alpha} = -\frac{\bar{w}}{\bar{\beta} - \bar{\alpha}} $$

が成り立つ。 第1式から第2式を辺々引くと、

$$ -\frac{\alpha}{\beta - \alpha} = \frac{2\bar{w} - \bar{\alpha}}{\bar{\beta} - \bar{\alpha}} $$

これを $\bar{w}$ について解く。

$$ 2\bar{w} - \bar{\alpha} = -\frac{\alpha(\bar{\beta} - \bar{\alpha})}{\beta - \alpha} $$

$$ 2\bar{w} = \bar{\alpha} - \frac{\alpha(\bar{\beta} - \bar{\alpha})}{\beta - \alpha} = \frac{\bar{\alpha}(\beta - \alpha) - \alpha(\bar{\beta} - \bar{\alpha})}{\beta - \alpha} = \frac{\bar{\alpha}\beta - \alpha\bar{\beta}}{\beta - \alpha} $$

両辺の共役複素数をとると、

$$ 2w = \frac{\alpha\bar{\beta} - \bar{\alpha}\beta}{\bar{\beta} - \bar{\alpha}} $$

したがって、垂線の足 $R(w)$ を表す複素数は次のように表される。

$$ w = \frac{\alpha\bar{\beta} - \bar{\alpha}\beta}{2(\bar{\beta} - \bar{\alpha})} $$

必要性の証明

$w = \alpha\beta$ が成り立つと仮定する。このとき、

$$ \frac{\alpha\bar{\beta} - \bar{\alpha}\beta}{2(\bar{\beta} - \bar{\alpha})} = \alpha\beta $$

$$ \alpha\bar{\beta} - \bar{\alpha}\beta = 2\alpha\beta(\bar{\beta} - \bar{\alpha}) $$

$$ \alpha\bar{\beta} - \bar{\alpha}\beta = 2\alpha|\beta|^2 - 2\beta|\alpha|^2 \quad \cdots (*) $$

左辺 $\alpha\bar{\beta} - \bar{\alpha}\beta$ は、その共役複素数が $\bar{\alpha}\beta - \alpha\bar{\beta} = -(\alpha\bar{\beta} - \bar{\alpha}\beta)$ であることから、純虚数または $0$ である。 したがって、等しい右辺 $2\alpha|\beta|^2 - 2\beta|\alpha|^2$ も純虚数または $0$ であり、自身と共役複素数の和は $0$ となる。

$$ (2\alpha|\beta|^2 - 2\beta|\alpha|^2) + (2\bar{\alpha}|\beta|^2 - 2\bar{\beta}|\alpha|^2) = 0 $$

$$ 2|\beta|^2(\alpha + \bar{\alpha}) - 2|\alpha|^2(\beta + \bar{\beta}) = 0 $$

点 $P, Q$ は原点以外の点であるから $\alpha \neq 0, \beta \neq 0$ であり、$|\alpha|^2 \neq 0, |\beta|^2 \neq 0$ である。よって両辺を $2|\alpha|^2|\beta|^2$ で割ると、

$$ \frac{\alpha + \bar{\alpha}}{|\alpha|^2} = \frac{\beta + \bar{\beta}}{|\beta|^2} $$

この値を実数 $k$ とおくと、

$$ \alpha + \bar{\alpha} = k|\alpha|^2, \quad \beta + \bar{\beta} = k|\beta|^2 $$

これより $\bar{\alpha} = k|\alpha|^2 - \alpha, \quad \bar{\beta} = k|\beta|^2 - \beta$ となる。これらを $(*)$ の左辺に代入すると、

$$ \alpha(k|\beta|^2 - \beta) - (k|\alpha|^2 - \alpha)\beta = k\alpha|\beta|^2 - \alpha\beta - k\beta|\alpha|^2 + \alpha\beta = k(\alpha|\beta|^2 - \beta|\alpha|^2) $$

これが $(*)$ の右辺と等しいので、

$$ k(\alpha|\beta|^2 - \beta|\alpha|^2) = 2(\alpha|\beta|^2 - \beta|\alpha|^2) $$

$$ (k - 2)(\alpha|\beta|^2 - \beta|\alpha|^2) = 0 $$

ここで、$\alpha|\beta|^2 - \beta|\alpha|^2 = 0$ と仮定すると、$\alpha\beta\bar{\beta} = \beta\alpha\bar{\alpha}$ となる。$\alpha \neq 0, \beta \neq 0$ より両辺を $\alpha\beta$ で割ると $\bar{\beta} = \bar{\alpha}$、すなわち $\beta = \alpha$ となるが、これは $P, Q$ が相異なる2点であることに矛盾する。

よって $\alpha|\beta|^2 - \beta|\alpha|^2 \neq 0$ であり、$k = 2$ を得る。 $k = 2$ のとき、

$$ \alpha + \bar{\alpha} = 2|\alpha|^2 \iff |\alpha|^2 - \frac{1}{2}\alpha - \frac{1}{2}\bar{\alpha} = 0 \iff \left| \alpha - \frac{1}{2} \right|^2 = \frac{1}{4} \iff \left| \alpha - \frac{1}{2} \right| = \frac{1}{2} $$

$\beta$ についても同様に $\left| \beta - \frac{1}{2} \right| = \frac{1}{2}$ が得られる。 よって、$w = \alpha\beta$ ならば $P(\alpha), Q(\beta)$ は中心 $\frac{1}{2}$，半径 $\frac{1}{2}$ の円周上にある。

十分性の証明

$P(\alpha), Q(\beta)$ が中心 $\frac{1}{2}$，半径 $\frac{1}{2}$ の円周上にあると仮定する。 このとき $\left| \alpha - \frac{1}{2} \right| = \frac{1}{2}$ かつ $\left| \beta - \frac{1}{2} \right| = \frac{1}{2}$ より、$\alpha + \bar{\alpha} = 2|\alpha|^2$ かつ $\beta + \bar{\beta} = 2|\beta|^2$ が成り立つ。 これより $\bar{\alpha} = 2|\alpha|^2 - \alpha, \quad \bar{\beta} = 2|\beta|^2 - \beta$ であるから、これを $w$ の分子 $\alpha\bar{\beta} - \bar{\alpha}\beta$ に代入すると、

$$ \alpha(2|\beta|^2 - \beta) - (2|\alpha|^2 - \alpha)\beta = 2\alpha|\beta|^2 - \alpha\beta - 2\beta|\alpha|^2 + \alpha\beta = 2\alpha|\beta|^2 - 2\beta|\alpha|^2 $$

一方で、分母については

$$ 2(\bar{\beta} - \bar{\alpha}) = 2\left( (2|\beta|^2 - \beta) - (2|\alpha|^2 - \alpha) \right) $$

と変形できるが、元々の $w$ の式において分子が $2\alpha\beta(\bar{\beta} - \bar{\alpha})$ になることを確認すればよい。

$$ 2\alpha|\beta|^2 - 2\beta|\alpha|^2 = 2\alpha\beta\bar{\beta} - 2\beta\alpha\bar{\alpha} = 2\alpha\beta(\bar{\beta} - \bar{\alpha}) $$

したがって、

$$ w = \frac{2\alpha\beta(\bar{\beta} - \bar{\alpha})}{2(\bar{\beta} - \bar{\alpha})} = \alpha\beta $$

が成り立つ。よって十分性も示された。

解説

この問題は、複素数平面における「直線上の点」「直交条件」を正しく立式し、代数的に処理する力が問われる。 垂線の足 $R(w)$ を直接 $\alpha, \beta$ で表すことで、条件 $w = \alpha\beta$ を扱いやすい等式に変換できる。 途中で $\alpha\bar{\beta} - \bar{\alpha}\beta$ が純虚数（または0）であることに着目し、共役複素数の和が0になる性質を用いて絶対値と実部の関係式を引き出すのが最大の山場である。必要十分条件の証明であるため、論理の逆が成り立つかどうかの確認（十分性の確認）を忘れないようにすることが重要である。

答え

$w = \alpha\beta$ であるための必要十分条件は、$P(\alpha), Q(\beta)$ が中心 $\frac{1}{2}$、半径 $\frac{1}{2}$ の円周上にあることである。

略（解法1の証明を参照）