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東京大学 2008年文系第2問解説

方針・初手

手持ちの白カードの枚数に着目し、その枚数の推移確率を考える。
「初めて」4枚とも同じ色になるという条件を満たすため、途中で白カードが0枚や4枚にならずに、1枚、2枚、3枚の間を推移する確率の漸化式を立てる。
白カードと黒カードの対称性を利用することで、扱う状態の数を減らし計算を簡略化できる。

解法1

手元にある白カードの枚数に着目する。最初、白カードは2枚である。

$m$ 回目の操作直後に白カードが $k$ 枚である状態を「状態 $k$」と呼ぶ。状態1にあるとき、手持ちのカードは白1枚、黒3枚である。次の操作で白を選ぶ（確率 $\frac{1}{4}$）と状態0になり、黒を選ぶ（確率 $\frac{3}{4}$）と状態2になる。状態2にあるとき、白を選ぶ（確率 $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$）と状態1になり、黒を選ぶ（確率 $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$）と状態3になる。状態3にあるとき、白を選ぶ（確率 $\frac{3}{4}$）と状態2になり、黒を選ぶ（確率 $\frac{1}{4}$）と状態4になる。

途中（$1$ 回目から $m-1$ 回目）で状態0や状態4にならないという条件のもとで、$m$ 回目の操作後に状態 $1, 2, 3$ にある確率をそれぞれ $a_m, b_m, c_m$ とする。初期状態（$0$ 回目の操作後）は白2枚であるから、

$$ a_0 = 0, \quad b_0 = 1, \quad c_0 = 0 $$

である。

$m \ge 1$ に対して、次の漸化式が成り立つ。

$$ \begin{cases} a_m = \frac{1}{2} b_{m-1} \\ b_m = \frac{3}{4} a_{m-1} + \frac{3}{4} c_{m-1} \\ c_m = \frac{1}{2} b_{m-1} \end{cases} $$

これと $a_0 = c_0$ より、すべての $m \ge 0$ について $a_m = c_m$ が成り立つ。したがって、漸化式は次のように簡略化できる。

$$ \begin{cases} a_m = \frac{1}{2} b_{m-1} \\ b_m = \frac{3}{2} a_{m-1} \end{cases} $$

$n$ 回目の操作後に初めて4枚とも同じ色（状態0または状態4）になる確率を $P_n$ とする。これは、$(n-1)$ 回目の操作後まで状態1, 2, 3にとどまり、かつ $(n-1)$ 回目の操作後に状態1または状態3にあり、$n$ 回目の操作で状態0または状態4に推移する確率である。したがって、

$$ P_n = \frac{1}{4} a_{n-1} + \frac{1}{4} c_{n-1} = \frac{1}{2} a_{n-1} $$

となる。

(1)

$m=1, 2, 3$ について順に $a_m, b_m$ を求める。

$m=1$ のとき、

$$ a_1 = \frac{1}{2} b_0 = \frac{1}{2}, \quad b_1 = \frac{3}{2} a_0 = 0 $$

$m=2$ のとき、

$$ a_2 = \frac{1}{2} b_1 = 0, \quad b_2 = \frac{3}{2} a_1 = \frac{3}{4} $$

$m=3$ のとき、

$$ a_3 = \frac{1}{2} b_2 = \frac{3}{8}, \quad b_3 = \frac{3}{2} a_2 = 0 $$

求める確率は $P_4$ であるから、

$$ P_4 = \frac{1}{2} a_3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{16} $$

(2)

漸化式より、$a_m$ についての隣接3項間の関係を導く。 $m \ge 2$ のとき、

$$ a_m = \frac{1}{2} b_{m-1} = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} a_{m-2} \right) = \frac{3}{4} a_{m-2} $$

が成り立つ。

また、$a_0 = 0, a_1 = \frac{1}{2}$ であることから、$a_m$ は $m$ の偶奇によって値が分かれる。

$m$ が偶数のとき、常に $a_m = 0$ となる。

$m$ が奇数のとき、$m=2k-1$（$k$ は自然数）とおくと、数列 $\{a_{2k-1}\}$ は初項 $a_1 = \frac{1}{2}$、公比 $\frac{3}{4}$ の等比数列となるから、

$$ a_{2k-1} = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{4} \right)^{k-1} $$

求める確率 $P_n$ は $P_n = \frac{1}{2} a_{n-1}$ である。

(i) $n$ が奇数の場合

$n-1$ は偶数となるため、$a_{n-1} = 0$ である。よって、

$$ P_n = 0 $$

(ii) $n$ が偶数の場合

$n=2k$（$k$ は自然数）とおくと、$n-1 = 2k-1$ は奇数となるため、

$$ P_{2k} = \frac{1}{2} a_{2k-1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \left( \frac{3}{4} \right)^{k-1} = \frac{1}{4} \left( \frac{3}{4} \right)^{\frac{n}{2}-1} $$

以上より、求める確率は $n$ が奇数のとき $0$、$n$ が偶数のとき $\frac{1}{4} \left( \frac{3}{4} \right)^{\frac{n}{2}-1}$ となる。

解説

状態遷移図を描き、確率の漸化式を立てて解く基本問題である。操作のたびに白カードの枚数は必ず1枚増えるか1枚減るかのどちらかであるため、偶数回の操作後には白カードの枚数は必ず偶数（0, 2, 4）となり、奇数回の操作後には必ず奇数（1, 3）となる。この「状態の偶奇のパリティ」に気づけば、奇数回で終了する確率が0であることや、漸化式を1つ飛ばし（隣接3項間）で解けばよいことが自然に理解できる。また、白と黒の対称性を利用して $a_m = c_m$ を見抜くことで、計算量を大幅に減らすことができる。