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東京大学 2008年文系第1問解説

方針・初手

まず、定積分 $\int_{-1}^{1} f(x) dx = 1$ の条件から $\alpha$ と $\beta$ の関係式を導く。これと $0 \leqq \alpha \leqq \beta$ の条件から、$\alpha$ のとりうる値の範囲（定義域）を確定させる。その後、定積分 $S$ を計算して $\alpha$ と $\beta$ の式で表し、先ほど求めた関係式を用いて $\alpha$ のみの関数にする。最後に、求めた定義域におけるその関数の最大値を微分を用いて調べる。

解法1

与えられた2次式は $f(x) = x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta$ である。条件 $\int_{-1}^{1} f(x) dx = 1$ より、

$$ \int_{-1}^{1} \{ x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta \} dx = 1 $$

左辺の定積分を計算する。積分区間が $-1$ から $1$ であるため、奇関数・偶関数の性質を利用すると、

$$ \int_{-1}^{1} \{ x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta \} dx = 2 \int_{0}^{1} ( x^2 + \alpha\beta ) dx $$

$$ = 2 \left[ \frac{1}{3}x^3 + \alpha\beta x \right]_{0}^{1} $$

$$ = 2 \left( \frac{1}{3} + \alpha\beta \right) $$

$$ = \frac{2}{3} + 2\alpha\beta $$

したがって、

$$ \frac{2}{3} + 2\alpha\beta = 1 $$

$$ \alpha\beta = \frac{1}{6} $$

が成り立つ。ここで、$0 \leqq \alpha \leqq \beta$ であるが、仮に $\alpha = 0$ とすると $\alpha\beta = 0$ となり、$\alpha\beta = \frac{1}{6}$ に矛盾する。したがって、$\alpha > 0$ である。 $\alpha \neq 0$ より、$\beta = \frac{1}{6\alpha}$ と表せる。これを $\alpha \leqq \beta$ に代入すると、

$$ \alpha \leqq \frac{1}{6\alpha} $$

$\alpha > 0$ であるから、不等号の向きは変わらず両辺に $\alpha$ を掛けることができ、

$$ \alpha^2 \leqq \frac{1}{6} $$

$$ 0 < \alpha \leqq \frac{1}{\sqrt{6}} $$

これが $\alpha$ のとりうる値の範囲である。

次に、$S = \int_{0}^{\alpha} f(x) dx$ を計算する。

$$ S = \int_{0}^{\alpha} \{ x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta \} dx $$

$$ = \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{\alpha+\beta}{2}x^2 + \alpha\beta x \right]_{0}^{\alpha} $$

$$ = \frac{1}{3}\alpha^3 - \frac{\alpha+\beta}{2}\alpha^2 + \alpha\beta \cdot \alpha $$

$$ = \frac{1}{3}\alpha^3 - \frac{1}{2}\alpha^3 - \frac{1}{2}\alpha^2\beta + \alpha^2\beta $$

$$ = -\frac{1}{6}\alpha^3 + \frac{1}{2}\alpha^2\beta $$

ここで、$\alpha\beta = \frac{1}{6}$ を用いると、$\frac{1}{2}\alpha^2\beta = \frac{1}{2}\alpha(\alpha\beta) = \frac{1}{2}\alpha \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12}\alpha$ となるから、

$$ S = -\frac{1}{6}\alpha^3 + \frac{1}{12}\alpha $$

となる。これが $S$ を $\alpha$ の式で表した結果である。

最後に、$S$ の最大値を求める。 $S(\alpha) = -\frac{1}{6}\alpha^3 + \frac{1}{12}\alpha$ とおき、$\alpha$ で微分すると、

$$ S'(\alpha) = -\frac{1}{2}\alpha^2 + \frac{1}{12} $$

$$ = -\frac{1}{2} \left( \alpha^2 - \frac{1}{6} \right) $$

定義域 $0 < \alpha \leqq \frac{1}{\sqrt{6}}$ において、常に $S'(\alpha) \geqq 0$ である（等号成立は $\alpha = \frac{1}{\sqrt{6}}$ のときのみ）。したがって、$S(\alpha)$ はこの区間で単調に増加する。ゆえに、$S$ は $\alpha = \frac{1}{\sqrt{6}}$ のとき最大値をとる。

最大値は、

$$ S\left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right) = -\frac{1}{6} \left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^3 + \frac{1}{12} \left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right) $$

$$ = -\frac{1}{36\sqrt{6}} + \frac{3}{36\sqrt{6}} $$

$$ = \frac{2}{36\sqrt{6}} $$

$$ = \frac{1}{18\sqrt{6}} $$

$$ = \frac{\sqrt{6}}{108} $$

解説

積分区間が対称な定積分の計算では、奇関数・偶関数の性質を利用することで計算量を減らすことができる。また、変数が2つ（$\alpha$ と $\beta$）ある関数の最大・最小問題では、与えられた等式条件を用いて1変数の関数に帰着させるのが定石である。本問において最も重要なポイントは、不等式の条件 $0 \leqq \alpha \leqq \beta$ から、残した変数 $\alpha$ の定義域が制限されることに気づき、正しく範囲を求めることである。定義域の確認を怠ると、関数の増減を正確に把握できず、誤った結論を導く原因となる。