東京大学 2024年 文系 第1問 解説

方針・初手

点 $P$, $Q$ が $y$ 軸対称であることから、放物線 $C$ の軸は $y$ 軸である。まずこの対称性を用いて $b=0$ を出す。

次に、円と放物線が共通接線をもつという条件を傾きで表して $a$, $c$ を求める。(2) の面積は積分で求め、(3) は得られた式を1変数関数として評価する。

解法1

(1)

放物線

$$ C : y = ax^2 + bx + c $$

が2点

$$ P(\cos \theta, \sin \theta), \quad Q(-\cos \theta, \sin \theta) $$

を通るので、

$$ \begin{cases} \sin \theta = a \cos^2 \theta + b \cos \theta + c \\ \sin \theta = a \cos^2 \theta - b \cos \theta + c \end{cases} $$

である。両式の差をとると

$$ 2b \cos \theta = 0 $$

となる。$0^\circ < \theta < 90^\circ$ より $\cos \theta > 0$ であるから

$$ b = 0 $$

である。

したがって

$$ C : y = ax^2 + c $$

である。

点 $P$ は円

$$ x^2 + y^2 = 1 $$

上にあるから、点 $P$ における接線は

$$ \cos \theta \, x + \sin \theta \, y = 1 $$

である。これを $y$ について解くと傾きは

$$ - \frac{\cos \theta}{\sin \theta} $$

である。

一方、放物線 $C$ の導関数は

$$ y' = 2ax $$

であるから、点 $P$ における接線の傾きは

$$ 2a \cos \theta $$

である。共通接線をもつので

$$ 2a \cos \theta = - \frac{\cos \theta}{\sin \theta} $$

となる。$\cos \theta > 0$ より

$$ 2a = - \frac{1}{\sin \theta} $$

である。ここで

$$ s = \sin \theta $$

とおくと、

$$ a = - \frac{1}{2s} $$

である。

さらに $P$ は放物線上にもあるから、

$$ s = a \cos^2 \theta + c $$

である。$\cos^2 \theta = 1 - s^2$ を用いると、

$$ s = - \frac{1}{2s} (1-s^2) + c $$

となるので、

$$ c = s + \frac{1-s^2}{2s} = \frac{s^2+1}{2s} $$

である。

以上より、

$$ a = - \frac{1}{2s}, \quad b = 0, \quad c = \frac{s^2+1}{2s} $$

を得る。

(2)

(1) より放物線は

$$ y = - \frac{1}{2s} x^2 + \frac{s^2+1}{2s} $$

である。これと $x$ 軸との交点は

$$ - \frac{1}{2s} x^2 + \frac{s^2+1}{2s} = 0 $$

より

$$ x = \pm \sqrt{s^2+1} $$

である。

したがって、面積 $A$ は

$$ A = \int_{-\sqrt{s^2+1}}^{\sqrt{s^2+1}} \left( - \frac{1}{2s} x^2 + \frac{s^2+1}{2s} \right) dx $$

である。ここで

$$ \alpha = - \sqrt{s^2+1}, \quad \beta = \sqrt{s^2+1} $$

とおくと、

$$ - \frac{1}{2s} x^2 + \frac{s^2+1}{2s} = - \frac{1}{2s} (x-\alpha)(x-\beta) $$

であるから、

$$ A = - \frac{1}{2s} \int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta) \, dx $$

となる。

公式

$$ \int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta) \, dx = - \frac{1}{6} (\beta-\alpha)^3 $$

を用いると、

$$ \begin{aligned} A &= - \frac{1}{2s} \left\{ - \frac{1}{6} (\beta-\alpha)^3 \right\} \\ &= \frac{1}{12s} \left( 2 \sqrt{s^2+1} \right)^3 \\ &= \frac{2 (s^2+1) \sqrt{s^2+1}}{3s} \end{aligned} $$

となる。

(3)

(2) より

$$ A = \frac{2}{3} \sqrt{\frac{(s^2+1)^3}{s^2}} $$

である。ここで

$$ t = s^2 $$

とおくと、$0 < s < 1$ より

$$ 0 < t < 1 $$

であり、

$$ A = \frac{2}{3} \sqrt{\frac{(t+1)^3}{t}} $$

となる。

そこで

$$ g(t) = \frac{(t+1)^3}{t} $$

とおくと、

$$ g(t) = t^2 + 3t + 3 + \frac{1}{t} $$

であるから、

$$ g'(t) = 2t + 3 - \frac{1}{t^2} = \frac{2t^3 + 3t^2 - 1}{t^2} $$

となる。分子は

$$ 2t^3 + 3t^2 - 1 = (t+1)^2 (2t-1) $$

と因数分解できるので、

$$ g'(t) = \frac{(t+1)^2 (2t-1)}{t^2} $$

である。

したがって、$0 < t < 1$ において $g'(t)=0$ となるのは

$$ t = \frac{1}{2} $$

のときだけであり、このとき $g(t)$ は最小となる。その最小値は

$$ g \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{\left( \frac{3}{2} \right)^3}{\frac{1}{2}} = \frac{27}{4} $$

である。よって

$$ g(t) \geqq \frac{27}{4} $$

であり、

$$ A = \frac{2}{3} \sqrt{g(t)} \geqq \frac{2}{3} \sqrt{\frac{27}{4}} = \sqrt{3} $$

となる。以上より

$$ A \geqq \sqrt{3} $$

が成り立つ。

解法2

(3) は相加平均と相乗平均の大小関係を用いても示せる。

再び $t = s^2$ とおくと

$$ A = \frac{2}{3} \sqrt{\frac{(t+1)^3}{t}} $$

である。ここで

$$ t + 1 = t + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} $$

と見て相加平均と相乗平均の大小関係を用いると、

$$ t + 1 \geqq 3 \sqrt[3]{t \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} = 3 \sqrt[3]{\frac{t}{4}} $$

である。両辺を3乗すると、

$$ (t+1)^3 \geqq \frac{27}{4} t $$

となるから、

$$ \frac{(t+1)^3}{t} \geqq \frac{27}{4} $$

である。よって

$$ A \geqq \frac{2}{3} \sqrt{\frac{27}{4}} = \sqrt{3} $$

を得る。

解説

対称な2点を通ることから $b=0$ を出し、共通接線の傾きを一致させて $a$, $c$ を求める流れが基本である。

面積は積分で求められるが、(2) の結果を (3) でそのまま1変数関数の評価に持ち込める形に整理しておくと見通しがよい。最小値は微分でも相加平均と相乗平均でも求められる。

答え

(1)

$$ a = - \frac{1}{2s}, \quad b = 0, \quad c = \frac{s^2+1}{2s} $$

(2)

$$ A = \frac{2(s^2+1)\sqrt{s^2+1}}{3s} $$

(3)

$$ A \geqq \sqrt{3} $$

等号は

$$ s = \frac{1}{\sqrt{2}} $$

のときに成り立つ。