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東京大学 1975年理系第5問解説

方針・初手

（i）では、隣接する2つの球 $S_n$ と $S_{n+1}$ の位置関係を把握し、空間座標を導入して共通部分の体積を積分によって求める。$S_{n+1}$ の中心が $S_n$ の表面上にあるという条件から、中心間の距離とそれぞれの半径が確定する。球の共通部分は、中心同士を結ぶ直線を軸とする回転体になるため、交面の座標を求めて $x$ 軸周りの回転体として積分する。

（ii）は、（i）で求めた体積 $v_n$ の無限級数を計算する問題である。$v_n$ が等比数列になることに着目し、極限を求める。

解法1

(i)

球 $S_n$ の半径を $r_n$ とする。与えられた条件より $r_n = \frac{a}{2^n}$ である。

$S_{n+1}$ の中心 $O_{n+1}$ は $S_n$ の表面上にあるため、中心間の距離は $O_n O_{n+1} = r_n$ である。また、$S_{n+1}$ の半径は $r_{n+1} = \frac{1}{2} r_n$ となる。

空間座標を導入し、$S_n$ の中心 $O_n$ を原点 $(0, 0, 0)$ にとり、直線 $O_n O_{n+1}$ を $x$ 軸の正の向きとする。このとき、$O_{n+1}$ の座標は $(r_n, 0, 0)$ と表せる。

$S_n$ と $S_{n+1}$ が表す領域の不等式は、それぞれ以下のように表される。

$$ S_n : x^2 + y^2 + z^2 \leqq r_n^2 $$

$$ S_{n+1} : (x - r_n)^2 + y^2 + z^2 \leqq \frac{1}{4} r_n^2 $$

$S_n$ と $S_{n+1}$ の表面が交わる曲線の $x$ 座標を求める。両方の球面の方程式から $y^2 + z^2$ を消去すると、以下のようになる。

$$ r_n^2 - x^2 = \frac{1}{4} r_n^2 - (x - r_n)^2 $$

これを $x$ について解く。

$$ r_n^2 - x^2 = \frac{1}{4} r_n^2 - (x^2 - 2r_n x + r_n^2) $$

$$ r_n^2 = -\frac{3}{4} r_n^2 + 2r_n x $$

$$ 2r_n x = \frac{7}{4} r_n^2 $$

$$ x = \frac{7}{8} r_n $$

求める体積 $v_n$ は、この平面 $x = \frac{7}{8} r_n$ を境に、$x$ 軸の周りの回転体として計算できる。積分区間は $S_{n+1}$ の左端である $x = r_n - \frac{1}{2}r_n = \frac{1}{2}r_n$ から、$S_n$ の右端である $x = r_n$ までとなる。体積 $v_n$ は次のように2つの積分に分割される。

$$ v_n = \int_{\frac{1}{2}r_n}^{\frac{7}{8}r_n} \pi \left\{ \frac{1}{4} r_n^2 - (x - r_n)^2 \right\} dx + \int_{\frac{7}{8}r_n}^{r_n} \pi (r_n^2 - x^2) dx $$

第1項の積分を $V_1$、第2項の積分を $V_2$ とおく。

$V_1$ の計算において $t = x - r_n$ と置換すると、$dt = dx$ であり、積分区間は $-\frac{1}{2}r_n$ から $-\frac{1}{8}r_n$ となる。

$$ \begin{aligned} V_1 &= \pi \int_{-\frac{1}{2}r_n}^{-\frac{1}{8}r_n} \left( \frac{1}{4} r_n^2 - t^2 \right) dt \\ &= \pi \left[ \frac{1}{4} r_n^2 t - \frac{1}{3} t^3 \right]_{-\frac{1}{2}r_n}^{-\frac{1}{8}r_n} \\ &= \pi \left\{ \left( -\frac{1}{32} r_n^3 + \frac{1}{3 \cdot 512} r_n^3 \right) - \left( -\frac{1}{8} r_n^3 + \frac{1}{3 \cdot 8} r_n^3 \right) \right\} \\ &= \pi r_n^3 \left( -\frac{1}{32} + \frac{1}{1536} + \frac{1}{8} - \frac{1}{24} \right) \\ &= \pi r_n^3 \left( \frac{-48 + 1 + 192 - 64}{1536} \right) \\ &= \frac{81}{1536} \pi r_n^3 = \frac{27}{512} \pi r_n^3 \end{aligned} $$

続いて $V_2$ を計算する。

$$ \begin{aligned} V_2 &= \pi \int_{\frac{7}{8}r_n}^{r_n} (r_n^2 - x^2) dx \\ &= \pi \left[ r_n^2 x - \frac{1}{3} x^3 \right]_{\frac{7}{8}r_n}^{r_n} \\ &= \pi \left\{ \left( r_n^3 - \frac{1}{3} r_n^3 \right) - \left( \frac{7}{8} r_n^3 - \frac{343}{3 \cdot 512} r_n^3 \right) \right\} \\ &= \pi r_n^3 \left( \frac{2}{3} - \frac{7}{8} + \frac{343}{1536} \right) \\ &= \pi r_n^3 \left( \frac{1024 - 1344 + 343}{1536} \right) \\ &= \frac{23}{1536} \pi r_n^3 \end{aligned} $$

よって、$v_n$ は次のように求まる。

$$ \begin{aligned} v_n &= V_1 + V_2 \\ &= \frac{81}{1536} \pi r_n^3 + \frac{23}{1536} \pi r_n^3 \\ &= \frac{104}{1536} \pi r_n^3 \\ &= \frac{13}{192} \pi r_n^3 \end{aligned} $$

ここで $r_n = \frac{a}{2^n}$ を代入する。

$$ v_n = \frac{13\pi}{192} \left( \frac{a}{2^n} \right)^3 = \frac{13\pi a^3}{192 \cdot 8^n} $$

(ii)

$V_m = \sum_{n=1}^m v_n$ を求める。これは初項が $v_1 = \frac{13\pi a^3}{1536}$、公比が $\frac{1}{8}$ の等比数列の和である。

$$ \begin{aligned} V_m &= \sum_{n=1}^m \frac{13\pi a^3}{192} \left( \frac{1}{8} \right)^n \\ &= \frac{13\pi a^3}{192} \cdot \frac{\frac{1}{8} \left\{ 1 - \left( \frac{1}{8} \right)^m \right\}}{1 - \frac{1}{8}} \\ &= \frac{13\pi a^3}{192} \cdot \frac{1}{7} \left\{ 1 - \left( \frac{1}{8} \right)^m \right\} \\ &= \frac{13\pi a^3}{1344} \left\{ 1 - \left( \frac{1}{8} \right)^m \right\} \end{aligned} $$

求める極限 $V$ は、$m \to \infty$ のとき $\left( \frac{1}{8} \right)^m \to 0$ となるから、次のようになる。

$$ V = \lim_{m \to \infty} V_m = \frac{13\pi a^3}{1344} $$

解法2

（i）について、相似を利用して計算量を減らす別解を示す。

球の列 $S_n$ と $S_{n+1}$ の組がつくる立体は、すべての $n$ に対して互いに相似である。

それぞれの球の半径は $r_n = \frac{a}{2^n}$ であり、相似比は $r_n : r_{n+1} = 1 : \frac{1}{2}$ と一定である。したがって、$S_n$ と $S_{n+1}$ の共通部分の体積 $v_n$ は、ある定数 $k$ を用いて $v_n = k \cdot r_n^3$ と表すことができる。

定数 $k$ を求めるために、半径が $R$ の球 $A$（中心を原点）と、その表面上に中心をもつ半径 $\frac{1}{2}R$ の球 $B$（中心を $(R, 0, 0)$）の共通部分の体積 $V(R)$ を計算する。

両者の交面は $x = \frac{7}{8}R$ であり、体積 $V(R)$ は回転体の体積として以下のように計算できる。

$$ V(R) = \int_{\frac{1}{2}R}^{\frac{7}{8}R} \pi \left\{ \frac{1}{4} R^2 - (x - R)^2 \right\} dx + \int_{\frac{7}{8}R}^{R} \pi (R^2 - x^2) dx $$

解法1と同様に積分を実行すると、

$$ V(R) = \frac{27}{512} \pi R^3 + \frac{23}{1536} \pi R^3 = \frac{13}{192} \pi R^3 $$

となる。したがって $v_n = V(r_n)$ であるから、

$$ v_n = \frac{13\pi}{192} r_n^3 = \frac{13\pi}{192} \left( \frac{a}{2^n} \right)^3 = \frac{13\pi a^3}{192 \cdot 8^n} $$