東京大学 1983年 理系 第1問 解説

方針・初手

「任意の三角形をそれと相似な三角形にうつす」1次変換は、相似変換である。原点を固定する1次変換において、相似変換となるのは「原点中心の回転と相似拡大の合成」または「原点を通る直線に関する折り返し（対称移動）と相似拡大の合成」のいずれかである。 この事実を用いると、求める行列 $A$ の成分の形を絞り込むことができる。成分の形を設定したのち、条件(2)を用いて連立方程式を解くか、あるいは複素数平面上の変換として捉えるアプローチが有効である。

解法1

条件(1)より、1次変換 $f$ は任意の三角形を相似な三角形にうつすので、原点を中心とする相似変換である。したがって、$f$ を表す行列 $A$ は、$k > 0$ および角 $\theta$ を用いて、

$$ A = k \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \quad \text{または} \quad A = k \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ \sin\theta & -\cos\theta \end{pmatrix} $$

のいずれかの形で表される。 実数 $p = k\cos\theta, q = k\sin\theta$ とおくと、$k > 0$ より $p^2 + q^2 \neq 0$ であり、行列 $A$ は次のいずれかとなる。

(i)

$A = \begin{pmatrix} p & -q \\ q & p \end{pmatrix}$ の場合

条件(2)より、点 $(1, \sqrt{3})$ は点 $(-2, 2\sqrt{3})$ にうつるから、

$$ \begin{pmatrix} p & -q \\ q & p \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2\sqrt{3} \end{pmatrix} $$

これを成分ごとに計算すると、以下の連立方程式を得る。

$$ \begin{cases} p - \sqrt{3}q = -2 & \cdots ① \\ q + \sqrt{3}p = 2\sqrt{3} & \cdots ② \end{cases} $$

①より $p = \sqrt{3}q - 2$ となり、これを②に代入する。

$$ q + \sqrt{3}(\sqrt{3}q - 2) = 2\sqrt{3} $$

$$ q + 3q - 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3} $$

$$ 4q = 4\sqrt{3} $$

よって $q = \sqrt{3}$ となる。このとき $p = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 2 = 1$ である。 $p^2 + q^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 \neq 0$ をみたし、条件に適合する。 したがって、

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \end{pmatrix} $$

(ii)

$A = \begin{pmatrix} p & q \\ q & -p \end{pmatrix}$ の場合

同様に条件(2)より、

$$ \begin{pmatrix} p & q \\ q & -p \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2\sqrt{3} \end{pmatrix} $$

これを成分ごとに計算すると、以下の連立方程式を得る。

$$ \begin{cases} p + \sqrt{3}q = -2 & \cdots ③ \\ q - \sqrt{3}p = 2\sqrt{3} & \cdots ④ \end{cases} $$

④より $q = \sqrt{3}p + 2\sqrt{3}$ となり、これを③に代入する。

$$ p + \sqrt{3}(\sqrt{3}p + 2\sqrt{3}) = -2 $$

$$ p + 3p + 6 = -2 $$

$$ 4p = -8 $$

よって $p = -2$ となる。このとき $q = \sqrt{3} \cdot (-2) + 2\sqrt{3} = 0$ である。 $p^2 + q^2 = (-2)^2 + 0^2 = 4 \neq 0$ をみたし、条件に適合する。 したがって、

$$ A = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} $$

以上より、求める行列 $A$ は得られた2つである。

解法2

$xy$ 平面上の点 $(x, y)$ を複素数平面上の点 $z = x + yi$ と同一視する。 条件(1)より、任意の三角形を相似な三角形にうつす1次変換は、複素数 $\alpha \neq 0$ を用いて、次のいずれかで表される。

(ア)

$f(z) = \alpha z$ （回転と相似拡大） (イ)

$f(z) = \alpha \bar{z}$ （実軸に関する対称移動と回転・相似拡大）

条件(2)より、点 $(1, \sqrt{3})$ は複素数 $z_0 = 1 + \sqrt{3}i$ に、点 $(-2, 2\sqrt{3})$ は複素数 $w_0 = -2 + 2\sqrt{3}i$ に対応し、$f(z_0) = w_0$ が成り立つ。

(ア)

$f(z) = \alpha z$ の場合

$w_0 = \alpha z_0$ より、$\alpha = \frac{w_0}{z_0}$ である。

$$ \begin{aligned} \alpha &= \frac{-2 + 2\sqrt{3}i}{1 + \sqrt{3}i} \\ &= \frac{2(-1 + \sqrt{3}i)(1 - \sqrt{3}i)}{(1 + \sqrt{3}i)(1 - \sqrt{3}i)} \\ &= \frac{2(-1 + \sqrt{3}i + \sqrt{3}i + 3)}{1^2 - (\sqrt{3}i)^2} \\ &= \frac{2(2 + 2\sqrt{3}i)}{4} \\ &= 1 + \sqrt{3}i \end{aligned} $$

よって、$f(z) = (1 + \sqrt{3}i)z$ となる。$z = x + yi$ とおくと、

$$ \begin{aligned} f(x + yi) &= (1 + \sqrt{3}i)(x + yi) \\ &= (x - \sqrt{3}y) + (\sqrt{3}x + y)i \end{aligned} $$

これを実部と虚部に分けて行列表記に戻すと、

$$ \begin{pmatrix} x - \sqrt{3}y \\ \sqrt{3}x + y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

したがって、$A = \begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \end{pmatrix}$ を得る。

(イ)

$f(z) = \alpha \bar{z}$ の場合

$w_0 = \alpha \bar{z}_0$ より、$\alpha = \frac{w_0}{\bar{z}_0}$ である。

$$ \begin{aligned} \alpha &= \frac{-2 + 2\sqrt{3}i}{1 - \sqrt{3}i} \\ &= \frac{2(-1 + \sqrt{3}i)(1 + \sqrt{3}i)}{(1 - \sqrt{3}i)(1 + \sqrt{3}i)} \\ &= \frac{2(-1 - 3)}{1^2 - (\sqrt{3}i)^2} \\ &= \frac{-8}{4} \\ &= -2 \end{aligned} $$

よって、$f(z) = -2\bar{z}$ となる。$z = x + yi$ とおくと $\bar{z} = x - yi$ であり、

$$ \begin{aligned} f(x + yi) &= -2(x - yi) \\ &= -2x + 2yi \end{aligned} $$

これを実部と虚部に分けて行列表記に戻すと、

$$ \begin{pmatrix} -2x \\ 2y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

したがって、$A = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ を得る。

解説

平面上の1次変換が「相似変換」となるための条件を、行列の成分や複素数平面の言葉でいかに表現できるかが問われる標準的な問題である。 相似変換には、「向きを保つもの（回転＋拡大縮小）」と「向きを逆にするもの（折り返し＋拡大縮小）」の2パターンが存在することを忘れないことが最も重要である。行列の成分設定であれ、複素数を用いる方法であれ、この2つの場合分けを漏らさずに行う必要がある。 複素数平面を用いた解法（解法2）は、計算量が少なく見通しが良いため、行列と複素数の対応関係に慣れておくことを推奨する。

答え

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} $$