東北大学 1981年 理系 第5問 解説

方針・初手

集合 $M$ の行列

$$ \begin{pmatrix} a & -b\ b & a \end{pmatrix} \quad (a,b\in \mathbb{R}) $$

は、複素数 $a+bi$ に対応しているとみなせる。実際、和と積は複素数の計算と一致する。

したがって、(1) では $A\neq O$ なら可逆であることを示せばよい。 (2) では $\begin{pmatrix}0&-1\1&0\end{pmatrix}$ が複素数 $i$ に対応することを用い、$z^3=i$ の解を求めればよい。

解法1

(1)

$A\in M$ を $O$ でない行列とする。すると

$$ A= \begin{pmatrix} a & -b\ b & a \end{pmatrix} \qquad ((a,b)\neq (0,0)) $$

と書ける。

このとき

$$ \det A=a^2+b^2 $$

である。$A\neq O$ だから $(a,b)\neq (0,0)$ であり、

$$ a^2+b^2>0 $$

となる。よって $A$ は正則である。

したがって、$AX=O$ を満たす $X\in M$ に対し、左から $A^{-1}$ を掛ければ

$$ X=A^{-1}O=O $$

となる。

ゆえに、求める行列は

$$ X=O= \begin{pmatrix} 0&0\ 0&0 \end{pmatrix} $$

のみである。

(2)

$X\in M$ を

$$ X= \begin{pmatrix} x & -y\ y & x \end{pmatrix} \qquad (x,y\in\mathbb{R}) $$

とおく。この行列を複素数 $x+yi$ に対応させると、

$$ \begin{pmatrix} 0&-1\ 1&0 \end{pmatrix} $$

は複素数 $i$ に対応する。

したがって、条件

$$ X^3= \begin{pmatrix} 0&-1\ 1&0 \end{pmatrix} $$

は、複素数 $z=x+yi$ に対して

$$ z^3=i $$

を満たすことと同値である。

ここで

$$ i=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2} $$

であるから、その 3 乗根は

$$ z=\cos\left(\frac{\pi/2+2k\pi}{3}\right) +i\sin\left(\frac{\pi/2+2k\pi}{3}\right) \qquad (k=0,1,2) $$

で与えられる。すなわち

$$ z=\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}\right) +i\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}\right) \qquad (k=0,1,2) $$

である。

各 $k$ について求めると、

(i) $k=0$ のとき

$$ z=\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6} =\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i $$

したがって

$$ X= \begin{pmatrix} \frac{\sqrt3}{2} & -\frac12\ \frac12 & \frac{\sqrt3}{2} \end{pmatrix} $$

(ii) $k=1$ のとき

$$ z=\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6} =-\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i $$

したがって

$$ X= \begin{pmatrix} -\frac{\sqrt3}{2} & -\frac12\ \frac12 & -\frac{\sqrt3}{2} \end{pmatrix} $$

(iii) $k=2$ のとき

$$ z=\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2} =-i $$

したがって

$$ X= \begin{pmatrix} 0 & 1\ -1 & 0 \end{pmatrix} $$

以上より、求める $X$ は 3 個ある。

解説

この問題の本質は、$M$ の行列が複素数 $a+bi$ と全く同じように振る舞うことである。

特に

$$ \begin{pmatrix} a & -b\ b & a \end{pmatrix} \longleftrightarrow a+bi $$

という対応を意識すると、(1) は「$0$ でない複素数は逆数をもつ」、(2) は「$z^3=i$ を解く」という普通の複素数の問題に直る。

この見方に気づかずに計算で押し切ることもできるが、計算量が増えやすい。こうした形の $2\times 2$ 行列は、複素数との対応をまず疑うのが典型である。

答え

(1)

$$ X= \begin{pmatrix} 0&0\ 0&0 \end{pmatrix} $$

(2)

$$ X= \begin{pmatrix} \frac{\sqrt3}{2} & -\frac12\ \frac12 & \frac{\sqrt3}{2} \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} -\frac{\sqrt3}{2} & -\frac12\ \frac12 & -\frac{\sqrt3}{2} \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 & 1\ -1 & 0 \end{pmatrix} $$