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東京大学 1987年理系第1問解説

方針・初手

行列 $A = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$ で表される一次変換によって直線上の点がどのようにうつるかを立式し、恒等式の考え方から $a, b$ の値を決定するのが基本の方針である。また、この形を定数倍と回転の合成を表す行列と捉えると、直線の「傾きの変化（方向ベクトルの変化）」に着目するだけで回転角を求めることができ、行列 $A$ の成分を完全に求めなくても解答に至ることができる。

解法1

直線 $y = 2x + 1$ 上の任意の点を $(x, 2x + 1)$ とし、この点が行列 $A$ によって点 $(X, Y)$ にうつるとする。

$$ \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ 2x + 1 \end{pmatrix} $$

これを計算すると、

$$ \begin{aligned} X &= ax - b(2x + 1) = (a - 2b)x - b \\ Y &= bx + a(2x + 1) = (2a + b)x + a \end{aligned} $$

点 $(X, Y)$ は直線 $y = -3x - 1$ 上にあるので、

$$ Y = -3X - 1 $$

が成り立つ。ここに先ほどの $X, Y$ を代入すると、

$$ (2a + b)x + a = -3 \{ (a - 2b)x - b \} - 1 $$

整理すると、

$$ (2a + b)x + a = (-3a + 6b)x + 3b - 1 $$

これがすべての実数 $x$ について成り立つ恒等式であるから、係数を比較して、

$$ \begin{cases} 2a + b = -3a + 6b & \dots \text{①} \\ a = 3b - 1 & \dots \text{②} \end{cases} $$

①より、

$$ 5a = 5b \iff a = b $$

これを②に代入して、

$$ a = 3a - 1 \iff 2a = 1 \iff a = \frac{1}{2} $$

したがって、$a = b = \frac{1}{2}$ となり、行列 $A$ は次のように求まる。

$$ A = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$

次に、点 $P(1, 2)$ が $A$ によってうつる点 $Q$ の座標を求める。位置ベクトルをそれぞれ $\vec{OP}, \vec{OQ}$ とすると、

$$ \vec{OQ} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 - 2 \\ 1 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/2 \\ 3/2 \end{pmatrix} $$

二直線 $OP$ と $OQ$ のなす角を $\theta$ $\left( 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2} \right)$ とする。$\vec{OP} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ と $\vec{OQ} = \begin{pmatrix} -1/2 \\ 3/2 \end{pmatrix}$ の内積および大きさを計算する。

$$ \vec{OP} \cdot \vec{OQ} = 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 2 \cdot \frac{3}{2} = -\frac{1}{2} + 3 = \frac{5}{2} $$

$$ |\vec{OP}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} $$

$$ |\vec{OQ}| = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{10}}{2} $$

したがって、

$$ \cos \theta = \frac{|\vec{OP} \cdot \vec{OQ}|}{|\vec{OP}| |\vec{OQ}|} = \frac{5/2}{\sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{10}}{2}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} $$

$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ であるから、$\theta = \frac{\pi}{4}$ である。

解法2

行列 $A$ が表す変換は、原点中心の回転と相似拡大の合成である。したがって、図形を変換した際、直線の「方向」の変化は回転の要素のみに依存する。

直線 $y = 2x + 1$ の方向ベクトルの1つは $\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ である。直線 $y = -3x - 1$ の方向ベクトルの1つは $\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}$ である。

行列 $A$ による一次変換で、方向ベクトル $\vec{u}$ は方向ベクトル $\vec{v}$ の実数倍（$k$ 倍とする、$k \neq 0$）にうつるため、

$$ A\vec{u} = k\vec{v} $$

と表せる。成分で表すと、

$$ \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} a - 2b \\ 2a + b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k \\ -3k \end{pmatrix} $$

これより、

$$ \begin{cases} a - 2b = k \\ 2a + b = -3k \end{cases} $$

$k \neq 0$ であるから $a - 2b \neq 0$ であり、辺々を割ると、

$$ \frac{2a + b}{a - 2b} = -3 $$

分母を払って整理すると、

$$ 2a + b = -3(a - 2b) $$

$$ 5a = 5b \iff a = b $$

$a = b$ のとき、行列 $A$ は次のように変形できる。

$$ A = \begin{pmatrix} a & -a \\ a & a \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \sqrt{2}a \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \sqrt{2}a \begin{pmatrix} \cos \frac{\pi}{4} & -\sin \frac{\pi}{4} \\ \sin \frac{\pi}{4} & \cos \frac{\pi}{4} \end{pmatrix} $$

したがって、行列 $A$ の表す一次変換は、原点周りに $\frac{\pi}{4}$ の回転（$a < 0$ の場合はさらに $\pi$ 回転するため $\frac{5\pi}{4}$ の回転）と、$\sqrt{2}|a|$ 倍の相似拡大を合成したものである。

点 $Q$ は点 $P$ をこの変換によってうつした点であるため、半直線 $OP$ と半直線 $OQ$ のなす角は $\frac{\pi}{4}$ または $\frac{5\pi}{4}$ である。二直線のなす角は $0$ 以上 $\frac{\pi}{2}$ 以下で測るため、二直線 $OP$ と $OQ$ のなす角は $\frac{\pi}{4}$ である。

解説

行列 $\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$ は、複素数平面における複素数 $a+bi$ の掛け算（すなわち、原点中心の回転と原点からの距離の定数倍）に対応する特別な形である。この図形的な意味を知っていると、解法2のように直線の方向ベクトル（傾き）の変化だけを追うことで、面倒な定数項の計算を回避して回転角を求めることができる。解法1のように軌跡の考え方を用いて、$x$ についての恒等式に帰着させる方法は、どのような一次変換の問題にも通用する汎用性の高いアプローチである。