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東京大学 1986年理系第6問解説

方針・初手

空間座標を設定し、方程式を用いて図形を数式で処理する。円錐の頂点を原点 $O(0, 0, 0)$、円錐の中心軸を $z$ 軸とする。深さ $1$ のとき水面の半径が $1$ であることから、円錐の側面の方程式は $x^2 + y^2 = z^2$（$0 \le z \le 1$）と表せる。傾ける前の水面（グラスのふちを含む平面）は $z=1$ である。グラスを傾けて水がこぼれるとき、新しい水面はグラスのふちの一点を通る。対称性から、この点を $P(-1, 0, 1)$ としても一般性を失わない。新しい水面を含む平面を $\Pi$ とすると、$\Pi$ は $P$ を通り、平面 $z=1$ と角度 $\alpha$ をなす。また、水面が楕円となる（水が底に残る）ことから $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$ であり、$m = \tan\alpha$ とすると $0 < m < 1$ である。

解法1

新しい水面を含む平面 $\Pi$ は、点 $P(-1, 0, 1)$ を通り、傾きが $m$ の平面である。その方程式は以下のように表される。

$$ z - 1 = -m(x + 1) \iff z = -mx - m + 1 $$

(1) $l, a, b$ を $m$ で表す

水面の楕円の長軸は、$zx$ 平面（$y=0$）上での平面 $\Pi$ と円錐面の交線を結ぶ線分である。円錐の母線 $z = |x|$ と直線 $z = -mx - m + 1$ の交点の $x$ 座標を求める。 $x \le 0$ のとき、$-x = -mx - m + 1$ より $x = -1$。 $x > 0$ のとき、$x = -mx - m + 1$ より $x = \frac{1-m}{1+m}$。よって、長軸の両端の座標は $A(-1, 0, 1)$ および $B\left(\frac{1-m}{1+m}, 0, \frac{1-m}{1+m}\right)$ である。

楕円の中心 $C$ は線分 $AB$ の中点であるから、その座標は以下のようになる。

$$ C \left( \frac{-1 + \frac{1-m}{1+m}}{2}, 0, \frac{1 + \frac{1-m}{1+m}}{2} \right) = \left( -\frac{m}{1+m}, 0, \frac{1}{1+m} \right) $$

中心 $C$ からグラスのふちを含む平面 $z=1$ までの距離 $l$ は、$z$ 座標の差であるから、

$$ l = 1 - \frac{1}{1+m} = \frac{m}{1+m} $$

長半径 $a$ は線分 $AB$ の長さの半分である。

$$ a = \frac{1}{2} \sqrt{ \left( \frac{1-m}{1+m} - (-1) \right)^2 + \left( \frac{1-m}{1+m} - 1 \right)^2 } $$

$$ a = \frac{1}{2} \sqrt{ \left( \frac{2}{1+m} \right)^2 + \left( \frac{-2m}{1+m} \right)^2 } = \frac{\sqrt{1+m^2}}{1+m} $$

次に短半径 $b$ を求める。平面 $\Pi$ の方程式を円錐の方程式 $x^2 + y^2 = z^2$ に代入する。

$$ x^2 + y^2 = (-mx - m + 1)^2 $$

これを $y^2$ について整理する。

$$ y^2 = (-mx - m + 1)^2 - x^2 = (m^2 - 1)x^2 + 2m(m - 1)x + (m - 1)^2 $$

$$ y^2 = -(1 - m^2) \left( x^2 + \frac{2m}{1+m}x \right) + (m - 1)^2 $$

平方完成を行う。

$$ y^2 = -(1 - m^2) \left( x + \frac{m}{1+m} \right)^2 + \frac{m^2(1 - m^2)}{(1+m)^2} + (m - 1)^2 $$

$$ y^2 = -(1 - m^2) \left( x + \frac{m}{1+m} \right)^2 + \frac{1-m}{1+m} $$

$y^2$ が最大となるのは $x = -\frac{m}{1+m}$ のとき（これは楕円の中心の $x$ 座標に一致する）であり、その最大値が $b^2$ となる。

$$ b^2 = \frac{1-m}{1+m} \implies b = \sqrt{\frac{1-m}{1+m}} $$

(2) $m$ の値を求める

最初の水の量 $V_0$ は、半径 $1$、高さ $1$ の円錐の体積である。

$$ V_0 = \frac{1}{3} \pi \cdot 1^2 \cdot 1 = \frac{\pi}{3} $$

こぼれた水の量が最初の $\frac{1}{2}$ であるから、残った水の量 $V$ も最初の $\frac{1}{2}$ である。

$$ V = \frac{1}{2} V_0 = \frac{\pi}{6} $$

残った水の量は $V = \frac{1}{3}\pi abh$ で与えられる。 $h$ は円錐の頂点 $O(0, 0, 0)$ から平面 $\Pi$: $mx + z + m - 1 = 0$ までの距離であるから、点と平面の距離の公式より以下となる。

$$ h = \frac{|m \cdot 0 + 0 + m - 1|}{\sqrt{m^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{1-m}{\sqrt{m^2+1}} $$

求めた $a, b, h$ を $V$ の式に代入する。

$$ V = \frac{1}{3}\pi \left( \frac{\sqrt{1+m^2}}{1+m} \right) \left( \sqrt{\frac{1-m}{1+m}} \right) \left( \frac{1-m}{\sqrt{m^2+1}} \right) = \frac{\pi}{3} \left( \frac{1-m}{1+m} \right)^{\frac{3}{2}} $$

これが $\frac{\pi}{6}$ に等しいので、次の方程式が成り立つ。

$$ \frac{\pi}{3} \left( \frac{1-m}{1+m} \right)^{\frac{3}{2}} = \frac{\pi}{6} $$

$$ \left( \frac{1-m}{1+m} \right)^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{2} $$

両辺を $\frac{2}{3}$ 乗する。

$$ \frac{1-m}{1+m} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{4}} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} $$

これを $m$ について解く。

$$ 2(1 - m) = \sqrt[3]{2}(1 + m) $$

$$ (2 + \sqrt[3]{2})m = 2 - \sqrt[3]{2} $$

$$ m = \frac{2 - \sqrt[3]{2}}{2 + \sqrt[3]{2}} $$

分母の有理化を行うために、分母分子に $(4 - 2\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4})$ を掛ける。

$$ m = \frac{(2 - \sqrt[3]{2})(4 - 2\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4})}{(2 + \sqrt[3]{2})(4 - 2\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4})} = \frac{8 - 4\sqrt[3]{2} + 2\sqrt[3]{4} - 4\sqrt[3]{2} + 2\sqrt[3]{4} - 2}{8 + 2} $$

$$ m = \frac{6 - 8\sqrt[3]{2} + 4\sqrt[3]{4}}{10} = \frac{3 - 4\sqrt[3]{2} + 2\sqrt[3]{4}}{5} $$

解説

立体図形の問題において、適切な座標軸を設定して代数的に処理する手法が極めて有効な問題である。円錐の頂点を原点に取り、中心軸を $z$ 軸とすることで、断面や平面の方程式を簡潔に表現できる。短半径 $b$ を求める際、平面 $\Pi$ の式を円錐の式に代入して $x$ について平方完成することで、楕円の式の標準形を導く過程が含まれており、計算力が問われる。 (2) では与えられた斜円錐の体積公式を適用し、点と平面の距離公式を用いて高さを正しく導出できるかが鍵となる。