トップ› 東京大学› 1981年› 理系第5問

東京大学 1981年理系第5問解説

方針・初手

底面の正 $n$ 角形の中心から各頂点までの距離（外接円の半径）を $r$ とおき、正 $n$ 角錐の高さ $h$ を $r$ で表すことを目指す。展開図における幾何学的関係と、組み立てた後の空間図形における直角三角形に着目し、三平方の定理から $h$ を立式する。体積 $V$ を $r$ の関数として表した後、微分の計算を簡略化するために $V^2$ を最大にする $r$ を探す。

解法1

(1)

底面の正 $n$ 角形の中心を $\mathrm{O}$、底面の外接円の半径を $r \ (>0)$ とおく。底面の正 $n$ 角形は、頂角が $\frac{2\pi}{n}$ の二等辺三角形 $n$ 個からなる。中心 $\mathrm{O}$ から底面の1辺に下ろした垂線の長さを $d$ とすると、

$$ d = r \cos \frac{\pi}{n} $$

底面の面積を $S$ とすると、

$$ S = n \times \frac{1}{2} r^2 \sin \frac{2\pi}{n} = \frac{n}{2} r^2 \sin \frac{2\pi}{n} $$

次に、展開図における正 $n$ 角錐の頂点について考える。展開図は、底面の正 $n$ 角形の各辺に、合同な二等辺三角形が外側についた星型である。対称性から、底面の中心 $\mathrm{O}$ と、展開図の $n$ 個の頂点を通る半径 $1$ の円の中心は一致する。展開図における側面の二等辺三角形の高さ（底面の辺に対する高さ）を $l$ とすると、中心 $\mathrm{O}$ から頂点までの距離が $1$ であることから、

$$ d + l = 1 \iff l = 1 - r \cos \frac{\pi}{n} $$

正 $n$ 角錐を組み立てたときの高さを $h$ とする。正 $n$ 角錐の頂点から底面に下ろした垂線の足は底面の中心 $\mathrm{O}$ と一致する。したがって、正 $n$ 角錐の高さ $h$、中心 $\mathrm{O}$ から底面の辺までの距離 $d$、側面の二等辺三角形の高さ $l$ は直角三角形の三辺をなし、$l$ が斜辺となるので、

$$ h^2 + d^2 = l^2 $$

が成り立つ。これに $d, l$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} h^2 &= \left(1 - r \cos \frac{\pi}{n}\right)^2 - \left(r \cos \frac{\pi}{n}\right)^2 \\ &= 1 - 2r \cos \frac{\pi}{n} \end{aligned} $$

$h > 0$ であるから、

$$ 1 - 2r \cos \frac{\pi}{n} > 0 \iff 0 < r < \frac{1}{2 \cos \frac{\pi}{n}} $$

正 $n$ 角錐の体積 $V$ は、

$$ V = \frac{1}{3} S h = \frac{n}{6} r^2 \sin \frac{2\pi}{n} \sqrt{1 - 2r \cos \frac{\pi}{n}} $$

$V$ が最大となるのは $V^2$ が最大のときである。正の定数部分を除いた部分を変数 $r$ の関数 $f(r)$ として、

$$ f(r) = r^4 \left(1 - 2r \cos \frac{\pi}{n}\right) = r^4 - 2r^5 \cos \frac{\pi}{n} $$

とおく。$f(r)$ を $r$ で微分すると、

$$ \begin{aligned} f'(r) &= 4r^3 - 10r^4 \cos \frac{\pi}{n} \\ &= 2r^3 \left(2 - 5r \cos \frac{\pi}{n}\right) \end{aligned} $$

$f'(r) = 0$ とすると、$r > 0$ より

$$ r = \frac{2}{5 \cos \frac{\pi}{n}} $$

この $r$ の値は条件 $0 < r < \frac{1}{2 \cos \frac{\pi}{n}}$ を満たす。 $f'(r)$ は $r = \frac{2}{5 \cos \frac{\pi}{n}}$ の前後で正から負へ変化するため、$f(r)$ はここで極大かつ最大となる。

最大値をとるときの $f(r)$ の値は、

$$ \begin{aligned} f\left(\frac{2}{5 \cos \frac{\pi}{n}}\right) &= \left(\frac{2}{5 \cos \frac{\pi}{n}}\right)^4 \left(1 - 2 \cdot \frac{2}{5 \cos \frac{\pi}{n}} \cos \frac{\pi}{n}\right) \\ &= \frac{16}{625 \cos^4 \frac{\pi}{n}} \left(1 - \frac{4}{5}\right) \\ &= \frac{16}{3125 \cos^4 \frac{\pi}{n}} \end{aligned} $$

よって、求める体積の最大値 $v_n$ は、

$$ \begin{aligned} v_n &= \frac{n}{6} \sin \frac{2\pi}{n} \sqrt{\frac{16}{3125 \cos^4 \frac{\pi}{n}}} \\ &= \frac{n}{6} \cdot 2 \sin \frac{\pi}{n} \cos \frac{\pi}{n} \cdot \frac{4}{25\sqrt{5} \cos^2 \frac{\pi}{n}} \\ &= \frac{4n}{75\sqrt{5}} \frac{\sin \frac{\pi}{n}}{\cos \frac{\pi}{n}} \\ &= \frac{4\sqrt{5}n}{375} \tan \frac{\pi}{n} \end{aligned} $$

(2)

(1) の結果より、

$$ v_n = \frac{4\sqrt{5}n}{375} \tan \frac{\pi}{n} $$

これを $n \to \infty$ としたときの極限を求める。

$$ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} v_n &= \lim_{n \to \infty} \frac{4\sqrt{5}}{375} \cdot n \cdot \frac{\sin \frac{\pi}{n}}{\cos \frac{\pi}{n}} \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{4\sqrt{5}\pi}{375} \cdot \frac{\sin \frac{\pi}{n}}{\frac{\pi}{n}} \cdot \frac{1}{\cos \frac{\pi}{n}} \end{aligned} $$

$n \to \infty$ のとき $\frac{\pi}{n} \to 0$ であるから、

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{\sin \frac{\pi}{n}}{\frac{\pi}{n}} = 1, \quad \lim_{n \to \infty} \cos \frac{\pi}{n} = 1 $$

したがって、求める極限は、

$$ \lim_{n \to \infty} v_n = \frac{4\sqrt{5}\pi}{375} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{4\sqrt{5}\pi}{375} $$

解説

展開図から元の立体の高さを逆算する典型的な空間図形の問題である。底面の中心、底面の辺の中点、立体の頂点からなる直角三角形を見出し、三平方の定理を用いて高さを求めるのが定石の処理となる。また、微分の計算において根号をそのまま扱うと計算が煩雑になるため、$V^2$ の最大値を考えるか、または定数部分を省いて $r$ のみの関数として扱うことで、計算ミスを防ぐことができる。後半の極限の計算は $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$ に帰着させる標準的なものである。