東京大学 1991年 理系 第1問 解説

方針・初手

正四面体の対称性に着目し、$n$ 回目の状態から $n+1$ 回目の状態への推移を考え、確率の漸化式を立式する。 「最初に平面と接していた面」が接している状態と、「それ以外の面」が接している状態の2つにグループ分けして考えるのが基本の方針となる。

解法1

最初に平面と接していた面を $A$ とし、それ以外の3つの面をまとめて $B, C, D$ とする。 $n$ 回の操作の後に、面 $A$ が平面と接している確率を $p_n$ とする。

$n+1$ 回の操作の後に面 $A$ が平面と接するのは、$n$ 回の操作の後に面 $A$ 以外の面が平面と接しており、かつその状態から面 $A$ を底面として倒す場合である。

$n$ 回の操作の後に面 $A$ 以外の面が接している確率は $1 - p_n$ である。また、いずれの面が接している状態からでも、次の操作で指定した特定の面が新たに接する確率は等しく $\frac{1}{3}$ である。

したがって、次の漸化式が成り立つ。

$$ p_{n+1} = \frac{1}{3} (1 - p_n) $$

これを変形すると、

$$ p_{n+1} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{3} \left( p_n - \frac{1}{4} \right) $$

となる。

ここで、1回目の操作の後に面 $A$ が再び接することはあり得ないため、$p_1 = 0$ である。 数列 $\left\{ p_n - \frac{1}{4} \right\}$ は、初項 $p_1 - \frac{1}{4} = 0 - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}$、公比 $-\frac{1}{3}$ の等比数列である。

よって、一般項は次のように求められる。

$$ p_n - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4} \left( -\frac{1}{3} \right)^{n-1} $$

$$ p_n = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \left( -\frac{1}{3} \right)^{n-1} $$

解法2

$n$ 回の操作の後に、最初に平面と接していた面が平面と接している確率を $a_n$、それ以外の特定の1つの面が平面と接している確率を $b_n$ とする。

正四面体の対称性から、最初に接していた面以外の3つの面が平面と接する確率はすべて等しく $b_n$ となる。 確率の総和は $1$ であるから、すべての自然数 $n$ について次が成り立つ。

$$ a_n + 3b_n = 1 $$

$n+1$ 回目に最初に接していた面が接するためには、$n$ 回目に他の3つの面のいずれかが接しており、そこから選ばれる必要がある。各面からの遷移確率は $\frac{1}{3}$ であるから、

$$ a_{n+1} = 3b_n \times \frac{1}{3} = b_n $$

が成り立つ。

上の2式から $b_n$ を消去すると、

$$ a_{n+1} = \frac{1 - a_n}{3} = -\frac{1}{3} a_n + \frac{1}{3} $$

を得る。 以下、解法1と同様にして漸化式を解くことで、$a_n$ を求めることができる。

解説

確率と漸化式を組み合わせた状態遷移の定石問題である。 正四面体や正六面体などを転がす問題では、「着目する特定の状態」と「それ以外の状態」にグループ分けし、状態間の遷移確率を考えるのが基本となる。 本問では「最初に接していた面」と「それ以外の3面」の2状態にまとめることで、1つの漸化式に帰着できる。解法2のように連立漸化式から出発しても、対称性によってすぐに1つの漸化式に直すことが可能である。

答え

$$ \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \left( -\frac{1}{3} \right)^{n-1} $$