東京大学 1991年 理系 第3問 解説

方針・初手

方程式 $x^3 - 3x - p = 0$ すなわち $x^3 - 3x = p$ の実数解は、曲線 $y = x^3 - 3x$ と直線 $y = p$ の共有点の $x$ 座標として視覚的に捉えることができる。 実数解の個数は $p$ の値によって変わるため、関数 $g(x) = x^3 - 3x$ の増減を調べて場合分けを行う。 特に実数解が3個の場合（$|p| \le 2$）は、すべての解を直接求めることが難しいため、「解と係数の関係」を用いて最大解と最小解の積を工夫して表現する。

解法1

$g(x) = x^3 - 3x$ とおく。

$$ g'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x+1)(x-1) $$

$g(x)$ の増減を調べると、$x = -1$ で極大値 $2$、$x = 1$ で極小値 $-2$ をとる。 方程式 $x^3 - 3x = p$ の実数解は、曲線 $y = g(x)$ と直線 $y = p$ の共有点の $x$ 座標である。

$p$ の値によって、実数解の個数およびとりうる値の範囲は以下の3つの場合に分かれる。

(i) $-2 \le p \le 2$ のとき

実数解は3個（重解を含む）存在する。これらを $\alpha, \beta, \gamma \ (\alpha \le \beta \le \gamma)$ とする。 このとき、最小解は $\alpha$、最大解は $\gamma$ であるから、定義より $f(p) = \alpha\gamma$ である。 方程式 $x^3 - 3x - p = 0$ における3次方程式の解と係数の関係より、以下の式が成り立つ。

$$ \begin{cases} \alpha + \beta + \gamma = 0 \\ \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = -3 \\ \alpha\beta\gamma = p \end{cases} $$

第1式より $\alpha + \gamma = -\beta$ である。これを第2式に変形して代入する。

$$ \beta(\alpha + \gamma) + \alpha\gamma = -3 $$

$$ -\beta^2 + \alpha\gamma = -3 $$

$$ \alpha\gamma = \beta^2 - 3 $$

よって、$f(p) = \beta^2 - 3$ と表せる。 ここで $\beta$ は3つの解のうち中間の解であるため、$y=g(x)$ のグラフと $y=p \ (-2 \le p \le 2)$ の交点の関係から、$-1 \le \beta \le 1$ の範囲を動く。 $-1 \le \beta \le 1$ より $0 \le \beta^2 \le 1$ であるから、

$$ -3 \le f(p) \le -2 $$

この区間における $f(p)$ の最小値は、$\beta = 0$ のとき $-3$ である。$\beta = 0$ のとき $p = 0^3 - 3\cdot 0 = 0$ である。

(ii) $p > 2$ のとき

実数解は1個のみ存在する。これを $\alpha$ とすると、$y=g(x)$ のグラフより $\alpha > 2$ である。 定義より $f(p) = \alpha^2$ である。 $\alpha > 2$ より、

$$ f(p) > 4 $$

(iii) $p < -2$ のとき

実数解は1個のみ存在する。これを $\alpha$ とすると、$y=g(x)$ のグラフより $\alpha < -2$ である。 定義より $f(p) = \alpha^2$ である。 $\alpha < -2$ より、

$$ f(p) > 4 $$

(1)

(i)〜(iii) より、$p$ がすべての実数を動くときの $f(p)$ の最小値は $-3$ である。（$p=0$ のとき）

(2)

まず、$f(p)$ の対称性について調べる。 関数 $g(x) = x^3 - 3x$ は奇関数であるから、$g(-x) = -g(x)$ が成り立つ。 $x$ が $g(x) = p$ の解であるとき、$-x$ は $g(x) = -p$ の解となる。 したがって、$p$ のときの実数解の集合と $-p$ のときの実数解の集合は、正負を反転させた関係にある。 これにより、最大解と最小解の符号が反転して入れ替わるため、それらの積は $p$ と $-p$ で等しくなる。実数解がただひとつの場合の2乗も同様である。 よって $f(-p) = f(p)$ が成り立ち、$f(p)$ は偶関数であり、そのグラフは $y$ 軸対称である。 以下、$p \ge 0$ の範囲について、パラメータ $t$ を用いて曲線の形状を調べる。

(ア) $0 \le p \le 2$ のとき

（i） の議論より、中間の解 $\beta$ を $t \ (-1 \le t \le 0)$ とおくことで、$p$ と $f(p)$ は次のように媒介変数表示される。

$$ p = t^3 - 3t $$

$$ f(p) = t^2 - 3 $$

これらを $t$ で微分する。

$$ \frac{dp}{dt} = 3t^2 - 3 = 3(t+1)(t-1) < 0 \quad (-1 < t < 0) $$

$$ \frac{df}{dt} = 2t \le 0 \quad (-1 \le t \le 0) $$

$t$ が $-1$ から $0$ まで増加するとき、$p$ は $2$ から $0$ まで単調減少する。言い換えると、$p$ が $0$ から $2$ へ増加するとき、$t$ は $0$ から $-1$ へ減少する。 $p$ に対する $f(p)$ の導関数は、

$$ \frac{df}{dp} = \frac{\frac{df}{dt}}{\frac{dp}{dt}} = \frac{2t}{3(t^2-1)} > 0 \quad (-1 < t < 0) $$

より、$f(p)$ は単調増加である。 また、$t \to -1$ （すなわち $p \to 2$）のとき、$\frac{df}{dp} \to \infty$ となるため、$p=2$ の点では接線が $y$ 軸に平行になる。 さらに第2次導関数は、

$$ \frac{d^2f}{dp^2} = \frac{d}{dt}\left( \frac{df}{dp} \right) \cdot \frac{dt}{dp} = \frac{-2(t^2+1)}{9(t^2-1)^3} > 0 $$

より、この区間におけるグラフは下に凸である。

(イ) $p > 2$ のとき

（ii） の議論より、唯一の解 $\alpha$ を $t \ (t > 2)$ とおくと、

$$ p = t^3 - 3t $$

$$ f(p) = t^2 $$

同様に微分すると、

$$ \frac{dp}{dt} = 3(t^2-1) > 0 \quad (t > 2) $$

より、$p$ は単調増加する。

$$ \frac{df}{dp} = \frac{2t}{3(t^2-1)} > 0 $$

$$ \frac{d^2f}{dp^2} = \frac{-2(t^2+1)}{9(t^2-1)^3} < 0 $$

より、この区間におけるグラフは単調増加であり、上に凸である。 また、$t \to 2+0$ のとき $p \to 2+0$, $f(p) \to 4$ であり、$\lim_{t \to \infty} \frac{df}{dp} = 0$ より $p \to \infty$ で接線の傾きは $0$ に近づく。

以上の考察と $y$ 軸対称性から、$p$ の関数 $f(p)$ のグラフは以下の特徴をもつ。

• $y$ 軸対称（偶関数）である。
• $-2 \le p \le 2$ においては、点 $(0, -3)$ を頂点とする下に凸な曲線であり、両端の点 $(-2, -2)$ および $(2, -2)$ で接線が $y$ 軸に平行となる。
• $p > 2$ においては、点 $(2, 4)$ （白丸）から右上に伸びる上に凸な曲線であり、$p \to \infty$ で傾きは $0$ に漸近する。
• $p < -2$ においては、点 $(-2, 4)$ （白丸）から左上に伸びる上に凸な曲線であり、$p \to -\infty$ で傾きは $0$ に漸近する。
• $p = \pm 2$ において $f(p)$ の値は $-2$ であるが、極限値は $4$ であり、グラフは不連続となる。

解法2

(1) について、三角関数を用いた別解

$-2 \le p \le 2$ のとき、$p = 2\cos\theta \ (0 \le \theta \le \pi)$ とおくことができる。 方程式 $x^3 - 3x = p$ において、$x = 2\cos\phi \ (0 \le \phi \le \pi)$ とおくと、

$$ (2\cos\phi)^3 - 3(2\cos\phi) = 2\cos\theta $$

$$ 2(4\cos^3\phi - 3\cos\phi) = 2\cos\theta $$

3倍角の公式より、

$$ \cos 3\phi = \cos\theta $$

$0 \le \phi \le \pi$ より $0 \le 3\phi \le 3\pi$ であるから、この範囲で方程式を解くと、

$$ 3\phi = \theta, \ 2\pi - \theta, \ 2\pi + \theta $$

$$ \phi = \frac{\theta}{3}, \ \frac{2\pi - \theta}{3}, \ \frac{2\pi + \theta}{3} $$

$0 \le \theta \le \pi$ のとき、

$$ 0 \le \frac{\theta}{3} \le \frac{\pi}{3} \le \frac{2\pi - \theta}{3} \le \frac{2\pi}{3} \le \frac{2\pi + \theta}{3} \le \pi $$

$0 \le \phi \le \pi$ において $\cos\phi$ は単調減少であるから、最大解 $\gamma$ と最小解 $\alpha$ はそれぞれ、

$$ \gamma = 2\cos\frac{\theta}{3}, \quad \alpha = 2\cos\frac{2\pi + \theta}{3} $$

よって、その積 $f(p)$ は積和の公式を用いて次のように計算できる。

$$ f(p) = \alpha\gamma = 4\cos\frac{2\pi + \theta}{3}\cos\frac{\theta}{3} $$

$$ f(p) = 2\left( \cos\frac{2\pi + 2\theta}{3} + \cos\frac{2\pi}{3} \right) = 2\cos\frac{2\pi + 2\theta}{3} - 1 $$

$0 \le \theta \le \pi$ のとき、$\frac{2\pi}{3} \le \frac{2\pi + 2\theta}{3} \le \frac{4\pi}{3}$ であるから、$\cos\frac{2\pi + 2\theta}{3}$ は角度が $\pi$ のとき、すなわち $\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき最小値 $-1$ をとる。 このとき $p = 2\cos\frac{\pi}{2} = 0$ であり、$f(p)$ の最小値は $2(-1) - 1 = -3$ である。 $|p| > 2$ のときは解法1と同様に $f(p) > 4$ となるため、全体の最小値は $-3$ となる。

解説

実数解が3つの場合に、最大解と最小解の積をどのように処理するかが最大の山場である。

解と係数の関係を用いれば、3つの解のうち「最大でも最小でもない真ん中の解」だけを変数として $f(p)$ をシンプルに表すことができる。そこから $p$ と $f(p)$ の関係をパラメータ表示として捉えることで、最小値のみならず（2）のグラフの概形まで一貫して見通すことが可能になる。

解法2のように $x=2\cos\theta$ と置換する手法は、3次方程式が3つの実数解をもつ場合（還元不能の場合）の鮮やかな解法として知られており、経験があれば計算を大いにショートカットできる。

答え

(1)

$-3$

(2)

グラフは $y$ 軸対称であり、以下の特徴をもつ。

• $-2 \le p \le 2$ では点 $(0, -3)$ で最小値をとり、両端の点 $(-2, -2)$ と $(2, -2)$ で接線が垂直になる下に凸な曲線。
• $p > 2$ では点 $(2, 4)$ （白丸）から右上に伸びる、上に凸な曲線。
• $p < -2$ では点 $(-2, 4)$ （白丸）から左上に伸びる、上に凸な曲線。
• $p = \pm 2$ において不連続である。