東京大学 1982年 理系 第4問 解説

方針・初手

動点 $P$ の座標を $(x, y)$ とする。軌跡の式 $y = \sin x$ を時間 $t$ で微分し、速度ベクトル $\vec{v}$ と加速度ベクトル $\vec{\alpha}$ の各成分を $x$ とその時間微分 $v_1 = \frac{dx}{dt}$ を用いて表す。 「速さが一定である」という条件から得られる関係式を用いて、$\vec{\alpha}$ の大きさの2乗 $|\vec{\alpha}|^2$ を $x$ のみの関数として立式し、その最大値を求める。

解法1

動点 $P$ の座標を $(x, y)$ とすると、与えられた条件より $y = \sin x$ である。 両辺を時間 $t$ で微分すると、連鎖律（合成関数の微分）より以下のようになる。

$$ \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dx}(\sin x) \cdot \frac{dx}{dt} = \cos x \cdot \frac{dx}{dt} $$

速度ベクトル $\vec{v} = (v_1, v_2) = \left(\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}\right)$ であるため、次のように表せる。

$$ \vec{v} = (v_1, v_1 \cos x) $$

$P$ の速さが一定 $V$ であることから、速さの2乗について以下の式が成り立つ。

$$ |\vec{v}|^2 = v_1^2 + (v_1 \cos x)^2 = v_1^2(1 + \cos^2 x) = V^2 $$

ここで、点 $P$ は左から右へ進むため $v_1 = \frac{dx}{dt} > 0$ である。 上式の両辺をさらに時間 $t$ で微分する。定数 $V^2$ の微分は $0$ となる。

$$ \frac{d}{dt} \{ v_1^2(1 + \cos^2 x) \} = 0 $$

積の微分法より、

$$ 2v_1 \frac{dv_1}{dt} (1 + \cos^2 x) + v_1^2 \cdot \left\{ 2\cos x(-\sin x) \frac{dx}{dt} \right\} = 0 $$

$\frac{dx}{dt} = v_1$ であり、$v_1 > 0$ であるから両辺を $2v_1$ で割って整理すると、加速度ベクトルの $x$ 成分 $\alpha_1 = \frac{dv_1}{dt}$ が得られる。

$$ \frac{dv_1}{dt} (1 + \cos^2 x) - v_1^2 \sin x \cos x = 0 $$

$$ \alpha_1 = \frac{dv_1}{dt} = \frac{v_1^2 \sin x \cos x}{1 + \cos^2 x} $$

次に、加速度ベクトルの $y$ 成分 $\alpha_2 = \frac{dv_2}{dt}$ を求める。$v_2 = v_1 \cos x$ を時間 $t$ で微分する。

$$ \alpha_2 = \frac{d}{dt}(v_1 \cos x) = \frac{dv_1}{dt} \cos x + v_1 (-\sin x) \frac{dx}{dt} = \alpha_1 \cos x - v_1^2 \sin x $$

ここに先ほど求めた $\alpha_1$ を代入する。

$$ \alpha_2 = \frac{v_1^2 \sin x \cos^2 x}{1 + \cos^2 x} - v_1^2 \sin x = v_1^2 \sin x \left( \frac{\cos^2 x}{1 + \cos^2 x} - 1 \right) = \frac{-v_1^2 \sin x}{1 + \cos^2 x} $$

これで $\vec{\alpha} = (\alpha_1, \alpha_2)$ の両成分が求まった。加速度の大きさの2乗 $|\vec{\alpha}|^2 = \alpha_1^2 + \alpha_2^2$ を計算する。

$$ |\vec{\alpha}|^2 = \left( \frac{v_1^2 \sin x \cos x}{1 + \cos^2 x} \right)^2 + \left( \frac{-v_1^2 \sin x}{1 + \cos^2 x} \right)^2 $$

$$ |\vec{\alpha}|^2 = \frac{v_1^4 \sin^2 x \cos^2 x + v_1^4 \sin^2 x}{(1 + \cos^2 x)^2} = \frac{v_1^4 \sin^2 x (\cos^2 x + 1)}{(1 + \cos^2 x)^2} = \frac{v_1^4 \sin^2 x}{1 + \cos^2 x} $$

速さの条件式から $v_1^2 = \frac{V^2}{1 + \cos^2 x}$ であるため、$v_1^4 = \frac{V^4}{(1 + \cos^2 x)^2}$ を代入する。

$$ |\vec{\alpha}|^2 = \frac{V^4}{(1 + \cos^2 x)^2} \cdot \frac{\sin^2 x}{1 + \cos^2 x} = V^4 \frac{\sin^2 x}{(1 + \cos^2 x)^3} $$

この関数の最大値を求めるために、$u = \cos^2 x$ と置く。$x$ は実数全体を動くため、$u$ のとりうる値の範囲は $0 \leqq u \leqq 1$ であり、$\sin^2 x = 1 - u$ となる。 $u$ の関数 $f(u)$ を次のように定める。

$$ f(u) = \frac{1 - u}{(1 + u)^3} \quad (0 \leqq u \leqq 1) $$

$f(u)$ を $u$ で微分する。

$$ f'(u) = \frac{-1 \cdot (1 + u)^3 - (1 - u) \cdot 3(1 + u)^2}{(1 + u)^6} = \frac{-(1 + u) - 3(1 - u)}{(1 + u)^4} = \frac{-4 + 2u}{(1 + u)^4} = \frac{2(u - 2)}{(1 + u)^4} $$

$0 \leqq u \leqq 1$ の範囲において $u - 2 < 0$ であるため、常に $f'(u) < 0$ となり、$f(u)$ は単調減少する。 したがって、$f(u)$ は $u = 0$ のとき最大値をとる。

$$ f(0) = \frac{1 - 0}{(1 + 0)^3} = 1 $$

ゆえに、$|\vec{\alpha}|^2$ の最大値は $V^4 \cdot 1 = V^4$ である。 $|\vec{\alpha}| \geqq 0$ かつ $V > 0$ より、$|\vec{\alpha}|$ の最大値はその正の平方根となる。

解法2

「速さが一定である」という物理的条件から、速度ベクトルと加速度ベクトルが直交することを利用した解法を示す。

速度ベクトル $\vec{v} = (v_1, v_1 \cos x)$ の大きさは定数 $V$ である。 $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v} = V^2$ の両辺を時間 $t$ で微分すると、内積の微分より以下が成り立つ。

$$ 2 \vec{v} \cdot \frac{d\vec{v}}{dt} = 0 $$

加速度ベクトル $\vec{\alpha} = \frac{d\vec{v}}{dt}$ であるから、$\vec{v} \cdot \vec{\alpha} = 0$ となり、$\vec{\alpha}$ は $\vec{v}$ に垂直である。 $\vec{v} = v_1(1, \cos x)$ であり、これに垂直なベクトルの一つは $(-\cos x, 1)$ であるため、実数 $k$ を用いて $\vec{\alpha}$ は次のように表せる。

$$ \vec{\alpha} = (\alpha_1, \alpha_2) = k(-\cos x, 1) = (-k\cos x, k) $$

すなわち、$\alpha_1 = -k\cos x$、$\alpha_2 = k$ である。 一方で、定義から $\alpha_2 = \frac{dv_2}{dt}$ であり、解法1と同様に計算すると以下となる。

$$ \alpha_2 = \frac{d}{dt}(v_1 \cos x) = \alpha_1 \cos x - v_1^2 \sin x $$

これに $\alpha_1 = -k\cos x$ と $\alpha_2 = k$ を代入して $k$ について解く。

$$ k = (-k\cos x) \cos x - v_1^2 \sin x $$

$$ k(1 + \cos^2 x) = -v_1^2 \sin x \implies k = \frac{-v_1^2 \sin x}{1 + \cos^2 x} $$

加速度の大きさの2乗 $|\vec{\alpha}|^2$ は、$(-k\cos x)^2 + k^2 = k^2(1 + \cos^2 x)$ であるから、求めた $k$ を代入する。

$$ |\vec{\alpha}|^2 = \left( \frac{-v_1^2 \sin x}{1 + \cos^2 x} \right)^2 (1 + \cos^2 x) = \frac{v_1^4 \sin^2 x}{1 + \cos^2 x} $$

これ以降は、解法1における $v_1^4 = \frac{V^4}{(1 + \cos^2 x)^2}$ の代入および最大値を求める手順と全く同じであるため省略する。

解説

動点が曲線に沿って一定の速さで進む運動を扱う、微分積分とベクトルの融合問題である。 最大の特徴は、「速さが一定（$|\vec{v}|$ が定数）」という条件の処理の仕方にある。解法1のように $|\vec{v}|^2 = V^2$ という関係式をそのまま時間微分して加速度成分を愚直に求める手法が最も確実で発想しやすい。

一方で、解法2のように「速さが一定ならば、速度ベクトルと加速度ベクトルは常に直交する（内積が $0$ になる）」という物理・数学的性質を知っていると、計算量を大幅に削減できる。この性質は円運動に限らず、任意の曲線上の等速運動で成り立つ重要な事実である。

なお、大学以降で学ぶ「曲率」の概念を用いると、等速運動における加速度の大きさは $V^2 \times (\text{曲率})$ で与えられる。曲線 $y = \sin x$ の曲がり具合が最も急になるのは山や谷の頂点（$\cos x = 0$ のとき）であり、このとき加速度の大きさが最大になるという直感と、数式上の最大値をとる条件（$u = \cos^2 x = 0$）は完全に一致している。

答え

$V^2$