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東京大学 1994年理系第5問解説

方針・初手

カードから $1, 2, 3, 4, 5, 6$ の数字を引く確率をそれぞれ $p, q$ を用いて表し、すべての確率が正であるという条件から $p, q$ の取りうる値の範囲を確認する。事象 $A$ の確率 $P(A)$ は条件を満たす組をすべて書き出すことで求め、事象 $B$ の確率 $P(B)$ は対称性に着目して余事象から計算すると見通しが良い。後半は $p, q$ の逆数が自然数であるという条件から、変数を自然数 $m, n$ に置き換え、確率の条件を満たす範囲で関数の最大値を調べる。

解法1

(1)

カードから数字 $k$ を引く確率を $P(X=k)$ とおく。問題の条件より、

$$ \begin{aligned} P(X=1) &= q \\ P(X=2) &= q \\ P(X=3) &= p \\ P(X=5) &= q \\ P(X=6) &= q \end{aligned} $$

確率の総和は $1$ であるから、

$$ P(X=4) = 1 - (p + 4q) $$

どの数字を引く確率も正であるから、$p > 0$、$q > 0$ かつ $1 - p - 4q > 0$ である。すなわち、

$$ p + 4q < 1 $$

が成り立つ。

次に、事象 $A$（$a+b \leqq 4$）の確率 $P(A)$ を求める。条件を満たす $(a, b)$ の組は、$(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 1)$ の $6$ 通りである。復元抽出であるから、各試行は独立であり、それぞれの確率は以下のようになる。

$$ \begin{aligned} P(1, 1) &= q^2 \\ P(1, 2) &= q^2 \\ P(1, 3) &= pq \\ P(2, 1) &= q^2 \\ P(2, 2) &= q^2 \\ P(3, 1) &= pq \end{aligned} $$

これらの和をとって、

$$ P(A) = 4q^2 + 2pq $$

次に、事象 $B$（$a < b$）の確率 $P(B)$ を求める。 1回目と2回目の試行は独立で同じ確率分布に従うため、対称性より $P(a < b) = P(a > b)$ が成り立つ。また、$P(a < b) + P(a = b) + P(a > b) = 1$ であるから、

$$ 2P(B) + P(a = b) = 1 $$

$$ P(B) = \frac{1 - P(a = b)}{2} $$

ここで、$P(a = b)$ は同じ数字を2回引く確率であるから、

$$ P(a = b) = P(1, 1) + P(2, 2) + P(3, 3) + P(4, 4) + P(5, 5) + P(6, 6) $$

$$ P(a = b) = q^2 + q^2 + p^2 + (1 - p - 4q)^2 + q^2 + q^2 $$

$$ P(a = b) = p^2 + 4q^2 + (1 - p - 4q)^2 $$

これを展開して整理すると、

$$ \begin{aligned} P(a = b) &= p^2 + 4q^2 + 1 + p^2 + 16q^2 - 2p - 8q + 8pq \\ &= 2p^2 + 20q^2 + 8pq - 2p - 8q + 1 \end{aligned} $$

したがって、$P(B)$ は次のように求まる。

$$ \begin{aligned} P(B) &= \frac{1 - (2p^2 + 20q^2 + 8pq - 2p - 8q + 1)}{2} \\ &= -p^2 - 10q^2 - 4pq + p + 4q \end{aligned} $$

以上より、$E = 2P(A) + P(B)$ は、

$$ \begin{aligned} E &= 2(4q^2 + 2pq) + (-p^2 - 10q^2 - 4pq + p + 4q) \\ &= 8q^2 + 4pq - p^2 - 10q^2 - 4pq + p + 4q \\ &= -p^2 - 2q^2 + p + 4q \end{aligned} $$

(2)

$\frac{1}{p} = m$、$\frac{1}{q} = n$（$m, n$ は自然数）とおく。 $p = \frac{1}{m}$、$q = \frac{1}{n}$ であり、(1) で求めた確率の条件 $p + 4q < 1$ より、

$$ \frac{1}{m} + \frac{4}{n} < 1 $$

が成り立つ。$m, n$ は自然数であるから、これを満たすためには $\frac{4}{n} < 1$、すなわち $n \geqq 5$ が必要である。このとき、$E$ を $m, n$ を用いて表すと、

$$ \begin{aligned} E &= -\frac{1}{m^2} - \frac{2}{n^2} + \frac{1}{m} + \frac{4}{n} \\ &= \left( -\frac{1}{m^2} + \frac{1}{m} \right) + \left( -\frac{2}{n^2} + \frac{4}{n} \right) \end{aligned} $$

ここで、$f(m) = -\frac{1}{m^2} + \frac{1}{m}$、$g(n) = -\frac{2}{n^2} + \frac{4}{n}$ とおく。 $f(m) = \frac{m-1}{m^2}$、$g(n) = \frac{4n-2}{n^2}$ となり、自然数の範囲でこれらの値の変化を調べる。

$g(n)$ について、$n \geqq 5$ での値を計算すると、 $g(5) = \frac{18}{25} = 0.72$ $g(6) = \frac{22}{36} \approx 0.611$ となり、$n \geqq 5$ において $g(n)$ は単調に減少する。したがって、$E$ を最大にするには、$g(n)$ を大きくするため $n$ をなるべく小さくしつつ、条件 $\frac{1}{m} + \frac{4}{n} < 1$ のもとで $f(m)$ が大きくなる $m$ を選べばよい。

(i)

$n = 5$ のとき条件より $\frac{1}{m} < 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$ となり、$m \geqq 6$ である。 $f(m)$ は $m \geqq 2$ で単調に減少するため、$m \geqq 6$ における最大値は $m=6$ のときである。このときの $E$ の値は、

$$ E = f(6) + g(5) = \frac{5}{36} + \frac{18}{25} = \frac{125 + 648}{900} = \frac{773}{900} \approx 0.8588 $$

(ii)

$n = 6$ のとき条件より $\frac{1}{m} < 1 - \frac{4}{6} = \frac{1}{3}$ となり、$m \geqq 4$ である。最大値は $m=4$ のときであり、このときの $E$ の値は、

$$ E = f(4) + g(6) = \frac{3}{16} + \frac{11}{18} = \frac{27 + 88}{144} = \frac{115}{144} \approx 0.7986 $$

(iii)

$n = 7$ のとき条件より $\frac{1}{m} < 1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}$ となり、$m \geqq 3$ である。最大値は $m=3$ のときであり、このときの $E$ の値は、

$$ E = f(3) + g(7) = \frac{2}{9} + \frac{26}{49} = \frac{98 + 234}{441} = \frac{332}{441} \approx 0.7528 $$

(iv)

$n = 9$ のとき $n$ が大きくなると $m=2$ をとることが可能になる。$m=2$ は $\frac{1}{m} < 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$ を満たすため、$n=9$ のとき $m=2$ をとりうる。このときの $E$ の値は、

$$ E = f(2) + g(9) = \frac{1}{4} + \frac{34}{81} = \frac{81 + 136}{324} = \frac{217}{324} \approx 0.6698 $$

$n \geqq 9$ においては $m \geqq 2$ であり、$f(m)$ の最大値は $f(2) = \frac{1}{4}$ である。$g(n)$ は単調に減少するため、$E = f(2) + g(n)$ は $n=9$ のときより大きくならない。

以上の結果を比較すると、$\frac{773}{900} > \frac{115}{144}$ などから、$E$ が最大となるのは $m=6, n=5$ のときである。よって、求める $p, q$ の値は $p = \frac{1}{6}, q = \frac{1}{5}$ である。

解説

(1) では、与えられた条件から「$4$ を引く確率」が $1 - p - 4q$ となることに気づくことと、その確率が正であるという隠れた条件 $p + 4q < 1$ を漏らさず記述することが重要である。また、$P(B)$ の計算において余事象と対称性を利用することで、場合分けの労力と計算ミスを大きく減らすことができる。

(2) は、変数を自然数に置き換えた後、独立した2つの関数 $f(m)$ と $g(n)$ の和の最大化に帰着させる。確率が正である条件が制約式 $\frac{1}{m} + \frac{4}{n} < 1$ として働き、これによって $m$ と $n$ の組が制限される点がポイントである。候補となる組をいくつか具体的に計算し、最大値を特定する手法が有効である。