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東京大学 2004年理系第2問解説

方針・初手

平方数の下位の桁に注目し、条件を絞り込んでいく問題である。（1）では、自然数を $10y+x$ （$x$ は1の位の数）と表し、2乗した際の下2桁が $x$ だけでほぼ決定されることを利用する。（2）では、（1）の結論を利用することで、下4桁の候補が $0000$ または $4444$ に絞られる。その後、平方数を特定の数で割った余り（平方剰余）を考えることで、$4444$ で終わる平方数が存在しないことを背理法で示す。

解法1

(1)

自然数 $N$ を $N = 10y + x$ （$x, y$ は整数で、$0 \le x \le 9, y \ge 1$）とおく。 $N$ の平方 $N^2$ は次のように展開できる。

$$ N^2 = (10y+x)^2 = 100y^2 + 20xy + x^2 $$

ここで、$100y^2$ は $100$ の倍数であるため、$N^2$ の下2桁は $20xy + x^2$ の下2桁に等しい。 $x^2$ を $10$ で割った商を $q$、余りを $r$ とすると、$x^2 = 10q + r$ （$0 \le r \le 9$）と表せる。このとき、

$$ 20xy + x^2 = 20xy + 10q + r = 10(2xy + q) + r $$

となる。 $N^2$ の10の位の数を $a$、1の位の数を $b$ とすると、$b$ は $r$ に等しく、$a$ の偶奇は $2xy + q$ の偶奇に等しい。 $2xy$ は偶数であるため、$a$ の偶奇は $q$ の偶奇に一致する。したがって、$a+b$ の偶奇は $q+r$ の偶奇に一致する。 $x = 0, 1, \dots, 9$ について $x^2 = 10q+r$ を計算し、$q+r$ の偶奇を調べる。

$x=0$ のとき、$0 = 10 \cdot 0 + 0$ より $q=0, r=0$。$q+r = 0$ (偶数)
$x=1$ のとき、$1 = 10 \cdot 0 + 1$ より $q=0, r=1$。$q+r = 1$ (奇数)
$x=2$ のとき、$4 = 10 \cdot 0 + 4$ より $q=0, r=4$。$q+r = 4$ (偶数)
$x=3$ のとき、$9 = 10 \cdot 0 + 9$ より $q=0, r=9$。$q+r = 9$ (奇数)
$x=4$ のとき、$16 = 10 \cdot 1 + 6$ より $q=1, r=6$。$q+r = 7$ (奇数)
$x=5$ のとき、$25 = 10 \cdot 2 + 5$ より $q=2, r=5$。$q+r = 7$ (奇数)
$x=6$ のとき、$36 = 10 \cdot 3 + 6$ より $q=3, r=6$。$q+r = 9$ (奇数)
$x=7$ のとき、$49 = 10 \cdot 4 + 9$ より $q=4, r=9$。$q+r = 13$ (奇数)
$x=8$ のとき、$64 = 10 \cdot 6 + 4$ より $q=6, r=4$。$q+r = 10$ (偶数)
$x=9$ のとき、$81 = 10 \cdot 8 + 1$ より $q=8, r=1$。$q+r = 9$ (奇数)

以上より、$q+r$ すなわち $a+b$ が偶数となるのは $x=0, 2, 8$ のときであり、そのとき常に $r=0$ または $r=4$ である。 $b=r$ であるため、$b$ は $0$ または $4$ であることが示された。

(2)

5桁以上の平方数を $M^2$ とし、その下4桁（1000の位から1の位までの数）がすべて同じ数字 $c$ （$0 \le c \le 9$）であるとする。このとき、$M^2$ の10の位と1の位も $c$ であるため、(1)における $a, b$ がともに $c$ である場合に相当する。 $a+b = c+c = 2c$ となり、これは常に偶数である。 (1)の結果から、$a+b$ が偶数ならば1の位 $b$ は $0$ または $4$ であるため、$c = 0$ または $c = 4$ でなければならない。

(i)

$c = 0$ のとき

$M^2$ の下4桁は $0000$ となる。これは $M^2$ が $10000$ の倍数であることを意味し、$10000$ で割り切れる。

(ii)

$c = 4$ のとき

$M^2$ の下4桁は $4444$ となる。すなわち、$M^2$ はある非負整数 $k$ を用いて

$$ M^2 = 10000k + 4444 $$

と表せる。右辺は偶数であるため $M$ は偶数である。 $M = 2m$ （$m$ は整数）とおき、両辺を $4$ で割ると、

$$ 4m^2 = 10000k + 4444 $$

$$ m^2 = 2500k + 1111 $$

となる。ここで右辺を $4$ で割った余りを考えると、

$$ 2500k + 1111 = 4(625k + 277) + 3 $$

より、$m^2 \equiv 3 \pmod 4$ である。一方で、任意の整数 $m$ を $4$ で割った余りは $0, 1, 2, 3$ のいずれかであり、それぞれの平方を $4$ で割った余りは

$0^2 = 0 \equiv 0 \pmod 4$
$1^2 = 1 \equiv 1 \pmod 4$
$2^2 = 4 \equiv 0 \pmod 4$
$3^2 = 9 \equiv 1 \pmod 4$

となるため、整数の平方を $4$ で割った余りは $0$ または $1$ のいずれかに限られる。これは $m^2 \equiv 3 \pmod 4$ であることに矛盾する。よって、$c=4$ となる平方数は存在しない。

（i）、（ii）より、条件を満たす平方数の下4桁は $0000$ に限られ、その平方数は $10000$ で割り切れることが示された。

解説

合同式や剰余を用いて平方数の性質（平方剰余）を絞り込む典型的な整数問題である。（1）では、平方数の下位桁がどのように決まるかを文字式で展開し、偶奇に注目して丁寧に調べ上げることが求められる。（2）では、（1）を誘導として利用し、下位桁の候補を $0000$ と $4444$ に絞り込む。その後、$4444$ で終わる平方数が存在しないことを、平方数を法 $4$ で割った余りを考えることで矛盾を導く手法が簡明である。