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東京大学 2004年理系第1問解説

方針・初手

放物線 $y = x^2$ 上の2点 $P, Q$ を設定し、直線 $PQ$ の傾きが $\sqrt{2}$ であるという条件から、2点の $x$ 座標の和を求める。次に、正三角形 $\triangle PQR$ の幾何学的性質（線分 $PQ$ の長さが $a$、頂点 $R$ が線分 $PQ$ の垂直二等分線上にあり、中点からの距離が $\frac{\sqrt{3}}{2}a$ であること）を座標平面上の式として表現し、最後に点 $R$ が放物線 $y = x^2$ 上にある条件から $a$ の方程式を導く。

解法1

放物線 $y = x^2$ 上の点 $P, Q$ の $x$ 座標をそれぞれ $p, q$ ($p < q$) とする。 $P(p, p^2), Q(q, q^2)$ であり、直線 $PQ$ の傾きは $\sqrt{2}$ であるから、

$$ \frac{q^2 - p^2}{q - p} = p + q = \sqrt{2} $$

線分 $PQ$ を表すベクトルは

$$ \vec{PQ} = (q - p, q^2 - p^2) = (q - p)(1, p + q) = (q - p)(1, \sqrt{2}) $$

$\triangle PQR$ は一辺の長さ $a$ の正三角形であるから、$|\vec{PQ}| = a$ より

$$ |\vec{PQ}| = (q - p)\sqrt{1^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{3}(q - p) = a $$

これより、$q - p = \frac{a}{\sqrt{3}}$ となる。線分 $PQ$ の中点を $M$ とすると、$M$ の座標は

$$ x_M = \frac{p + q}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

$$ y_M = \frac{p^2 + q^2}{2} = \frac{(p + q)^2 - 2pq}{2} = 1 - pq $$

ここで、$(q - p)^2 = (p + q)^2 - 4pq$ に $p+q = \sqrt{2}$ と $q-p = \frac{a}{\sqrt{3}}$ を代入して

$$ \frac{a^2}{3} = 2 - 4pq \iff pq = \frac{1}{2} - \frac{a^2}{12} $$

したがって、$y_M = 1 - \left( \frac{1}{2} - \frac{a^2}{12} \right) = \frac{1}{2} + \frac{a^2}{12}$ となり、$M\left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2} + \frac{a^2}{12} \right)$ である。

$\triangle PQR$ は正三角形であるから、頂点 $R$ は線分 $PQ$ の垂直二等分線上にあり、線分 $MR$ の長さは $\frac{\sqrt{3}}{2}a$ である。方向ベクトル $(1, \sqrt{2})$ に垂直で大きさが $\sqrt{3}$ のベクトルの一つは $(-\sqrt{2}, 1)$ であるから、ベクトル $\vec{MR}$ は次のように表せる。

$$ \vec{MR} = \pm \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{\sqrt{3}} (-\sqrt{2}, 1) = \pm \frac{a}{2} (-\sqrt{2}, 1) = \left( \mp \frac{\sqrt{2}}{2}a, \pm \frac{a}{2} \right) \quad (\text{複号同順}) $$

点 $R$ の座標 $(x_R, y_R)$ は、$(x_M, y_M) + \vec{MR}$ より

$$ x_R = \frac{\sqrt{2}}{2} \mp \frac{\sqrt{2}}{2}a = \frac{\sqrt{2}}{2}(1 \mp a) $$

$$ y_R = \frac{1}{2} + \frac{a^2}{12} \pm \frac{a}{2} $$

点 $R$ は放物線 $y = x^2$ 上にあるから、$y_R = x_R^2$ が成り立つ。

$$ \frac{1}{2} + \frac{a^2}{12} \pm \frac{a}{2} = \left\{ \frac{\sqrt{2}}{2}(1 \mp a) \right\}^2 $$

$$ \frac{1}{2} + \frac{a^2}{12} \pm \frac{a}{2} = \frac{1}{2}(1 \mp 2a + a^2) $$

展開して整理すると、

$$ \frac{1}{2} + \frac{a^2}{12} \pm \frac{a}{2} = \frac{1}{2} \mp a + \frac{1}{2}a^2 $$

$$ \frac{5}{12}a^2 \mp \frac{3}{2}a = 0 $$

一辺の長さ $a > 0$ であるから両辺を $a$ で割り、

$$ \frac{5}{12}a = \pm \frac{3}{2} $$

$a > 0$ より右辺は正でなければならないため、複号は $+$ が適する。よって、

$$ \frac{5}{12}a = \frac{3}{2} \implies a = \frac{18}{5} $$

解法2

直線 $PQ$ の方程式を $y = \sqrt{2}x + k$ とする。点 $P, Q$ の $x$ 座標 $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) は、2次方程式 $x^2 - \sqrt{2}x - k = 0$ の実数解である。解と係数の関係より、

$$ \alpha + \beta = \sqrt{2}, \quad \alpha\beta = -k $$

線分 $PQ$ の長さ $a$ について、

$$ a = \sqrt{1^2 + (\sqrt{2})^2} (\beta - \alpha) = \sqrt{3} \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta} = \sqrt{3} \sqrt{2 + 4k} $$

両辺を2乗して $a^2 = 6 + 12k$ より、$k = \frac{a^2}{12} - \frac{1}{2}$ を得る。線分 $PQ$ の中点 $M$ の座標は、

$$ x_M = \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

$$ y_M = \sqrt{2}x_M + k = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \left( \frac{a^2}{12} - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} + \frac{a^2}{12} $$

線分 $PQ$ の垂直二等分線 $\ell$ は、点 $M$ を通り傾きが $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ の直線であるから、その方程式は

$$ y - \left( \frac{1}{2} + \frac{a^2}{12} \right) = -\frac{1}{\sqrt{2}} \left( x - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) $$

$$ y = -\frac{\sqrt{2}}{2}x + 1 + \frac{a^2}{12} $$

頂点 $R$ は直線 $\ell$ 上の点であり、$M$ からの距離が $\frac{\sqrt{3}}{2}a$ である。 $\ell$ 上の点 $(x, y)$ について、$x - x_M = t$ とおくと $y - y_M = -\frac{\sqrt{2}}{2}t$ となる。 $M$ からの距離の2乗は $t^2 + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}t\right)^2 = \frac{3}{2}t^2$ であり、これが $\left( \frac{\sqrt{3}}{2}a \right)^2 = \frac{3}{4}a^2$ に等しいので、

$$ \frac{3}{2}t^2 = \frac{3}{4}a^2 \implies t = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}a $$

したがって、$R$ の $x$ 座標は $x_R = x_M + t = \frac{\sqrt{2}}{2}(1 \pm a)$ である。点 $R$ は放物線 $y = x^2$ と直線 $\ell$ の交点でもあるので、

$$ \left\{ \frac{\sqrt{2}}{2}(1 \pm a) \right\}^2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} \left\{ \frac{\sqrt{2}}{2}(1 \pm a) \right\} + 1 + \frac{a^2}{12} $$

$$ \frac{1}{2}(1 \pm 2a + a^2) = -\frac{1}{2}(1 \pm a) + 1 + \frac{a^2}{12} $$

$$ \frac{1}{2} \pm a + \frac{1}{2}a^2 = \frac{1}{2} \mp \frac{1}{2}a + \frac{a^2}{12} $$

移項して整理すると、

$$ \frac{5}{12}a^2 \pm \frac{3}{2}a = 0 $$

$a > 0$ より両辺を $a$ で割ると、$\frac{5}{12}a \pm \frac{3}{2} = 0$ となる。 $a > 0$ を満たすためには複号は $-$ でなければならない。

$$ \frac{5}{12}a - \frac{3}{2} = 0 \implies a = \frac{18}{5} $$

解説

放物線と直線の交点や、図形の条件を座標平面上に落とし込む典型的な問題である。解法1のようにベクトルを用いて回転や距離を処理する方法と、解法2のように直線の方程式と解と係数の関係を用いる方法のいずれでも完答可能である。途中で頂点 $R$ の候補として2つの座標（$\pm$ を含む式）が現れるが、最後に「辺の長さ $a$ は正である」という条件によって一意に絞り込まれる点がポイントになる。