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東京大学 2004年理系第3問解説

方針・初手

円 $C$ の中心を原点に置き、円板 $D$ の中心 $A$ の偏角 $\theta$ を媒介変数として点 $P$ の座標 $(x(\theta), y(\theta))$ を立式する。円 $C$ 上を内接しながら転がるため、点 $P$ の軌跡はいわゆるハイポサイクロイド（内サイクロイド）の一部となる。

まずは「再び円 $C$ の円周に接する」という条件から、原点からの距離が $10$ になる $\theta$ を求め、曲線の積分区間を決定する。その後、原点と点 $P$ を結ぶ動径が掃く面積（扇形的な面積）を $\frac{1}{2}\int (xy' - yx')d\theta$ によって計算し、円 $C$ の扇形の面積から引くことで、切り取られる部分の面積を求める。

解法1

円 $C$ の中心を原点 $O(0,0)$ とし、その半径は $R=10$ である。円板 $D$ の中心を $A$、半径を $r=3$ とする。初期状態として、点 $P$ が点 $(10,0)$ で円 $C$ に接しているとする。円板 $D$ が滑らずに転がるとき、直線 $OA$ が $x$ 軸の正の向きとなす角を $\theta$ とおくと、$OA = 10 - 3 = 7$ であるため、点 $A$ の座標は $(7\cos\theta, 7\sin\theta)$ と表せる。

このとき、接点が円 $C$ 上を移動した弧の長さは $10\theta$ である。円板 $D$ は滑らずに転がるため、円板 $D$ 上の接点も同じ長さ $10\theta$ だけ移動している。円板 $D$ の中心 $A$ から見た点 $P$ の回転角は $\frac{10\theta}{3}$ となる。円板は内接しながら時計回りに自転するため、$x$ 軸の正の向きから測ったベクトル $\overrightarrow{AP}$ の偏角は $\theta - \frac{10}{3}\theta = -\frac{7}{3}\theta$ となる。したがって、点 $P$ の座標 $(x(\theta), y(\theta))$ は次のように表される。

$$ \begin{aligned} x(\theta) &= 7\cos\theta + 3\cos\left(-\frac{7}{3}\theta\right) = 7\cos\theta + 3\cos\frac{7}{3}\theta \\ y(\theta) &= 7\sin\theta + 3\sin\left(-\frac{7}{3}\theta\right) = 7\sin\theta - 3\sin\frac{7}{3}\theta \end{aligned} $$

点 $P$ が再び円 $C$ の円周に接するのは、原点からの距離が $10$、すなわち $x(\theta)^2 + y(\theta)^2 = 100$ となるときである。これを計算する。

$$ \begin{aligned} x(\theta)^2 + y(\theta)^2 &= \left(7\cos\theta + 3\cos\frac{7}{3}\theta\right)^2 + \left(7\sin\theta - 3\sin\frac{7}{3}\theta\right)^2 \\ &= \left(49\cos^2\theta + 42\cos\theta\cos\frac{7}{3}\theta + 9\cos^2\frac{7}{3}\theta\right) + \left(49\sin^2\theta - 42\sin\theta\sin\frac{7}{3}\theta + 9\sin^2\frac{7}{3}\theta\right) \\ &= 58 + 42\left(\cos\theta\cos\frac{7}{3}\theta - \sin\theta\sin\frac{7}{3}\theta\right) \\ &= 58 + 42\cos\left(\theta + \frac{7}{3}\theta\right) \\ &= 58 + 42\cos\frac{10}{3}\theta \end{aligned} $$

これが $100$ に等しいので、

$$ \begin{aligned} 58 + 42\cos\frac{10}{3}\theta &= 100 \\ \cos\frac{10}{3}\theta &= 1 \end{aligned} $$

$\theta > 0$ における最小の解は $\frac{10}{3}\theta = 2\pi$ より、$\theta = \frac{3}{5}\pi$ である。したがって、点 $P$ が曲線を描く $\theta$ の範囲は $0 \leqq \theta \leqq \frac{3}{5}\pi$ である。

次に、この曲線と原点を結ぶ動径が掃く面積 $S_{OP}$ を求める。パラメータ表示された曲線に対する面積公式 $S_{OP} = \frac{1}{2}\int (x y' - y x') d\theta$ を用いる。まず、微分の計算を行う。

$$ \begin{aligned} x'(\theta) &= -7\sin\theta - 7\sin\frac{7}{3}\theta \\ y'(\theta) &= 7\cos\theta - 7\cos\frac{7}{3}\theta \end{aligned} $$

これを用いて被積分関数 $x y' - y x'$ を計算する。

$$ \begin{aligned} x y' - y x' &= \left(7\cos\theta + 3\cos\frac{7}{3}\theta\right)\left(7\cos\theta - 7\cos\frac{7}{3}\theta\right) - \left(7\sin\theta - 3\sin\frac{7}{3}\theta\right)\left(-7\sin\theta - 7\sin\frac{7}{3}\theta\right) \\ &= 7\left(7\cos\theta + 3\cos\frac{7}{3}\theta\right)\left(\cos\theta - \cos\frac{7}{3}\theta\right) + 7\left(7\sin\theta - 3\sin\frac{7}{3}\theta\right)\left(\sin\theta + \sin\frac{7}{3}\theta\right) \\ &= 7 \left( 7\cos^2\theta - 4\cos\theta\cos\frac{7}{3}\theta - 3\cos^2\frac{7}{3}\theta \right) + 7 \left( 7\sin^2\theta + 4\sin\theta\sin\frac{7}{3}\theta - 3\sin^2\frac{7}{3}\theta \right) \\ &= 7 \left\{ 7\left(\cos^2\theta + \sin^2\theta\right) - 3\left(\cos^2\frac{7}{3}\theta + \sin^2\frac{7}{3}\theta\right) - 4\left(\cos\theta\cos\frac{7}{3}\theta - \sin\theta\sin\frac{7}{3}\theta\right) \right\} \\ &= 7 \left\{ 4 - 4\cos\left(\theta + \frac{7}{3}\theta\right) \right\} \\ &= 28\left(1 - \cos\frac{10}{3}\theta\right) \end{aligned} $$

したがって、動径が掃く面積 $S_{OP}$ は次のように求まる。

$$ \begin{aligned} S_{OP} &= \frac{1}{2} \int_0^{\frac{3}{5}\pi} 28\left(1 - \cos\frac{10}{3}\theta\right) d\theta \\ &= 14 \left[ \theta - \frac{3}{10}\sin\frac{10}{3}\theta \right]_0^{\frac{3}{5}\pi} \\ &= 14 \left( \frac{3}{5}\pi - \frac{3}{10}\sin 2\pi \right) \\ &= \frac{42}{5}\pi \end{aligned} $$

円 $C$ において、偏角が $0$ から $\frac{3}{5}\pi$ までの扇形の面積 $S_{sec}$ は、

$$ S_{sec} = \frac{1}{2} \times 10^2 \times \frac{3}{5}\pi = 30\pi $$

曲線と円 $C$ の弧によって囲まれる部分のうち、面積が小さい方を $S_1$ とすると、$S_1$ は扇形の面積から動径が掃く面積を引いたものである。

$$ S_1 = S_{sec} - S_{OP} = 30\pi - \frac{42}{5}\pi = \frac{150\pi - 42\pi}{5} = \frac{108}{5}\pi $$

もう一方の面積を $S_2$ とすると、円 $C$ 全体の面積 $100\pi$ から $S_1$ を引けばよい。

$$ S_2 = 100\pi - \frac{108}{5}\pi = \frac{500\pi - 108\pi}{5} = \frac{392}{5}\pi $$

解説

内サイクロイド（ハイポサイクロイド）の媒介変数表示と、極座標系における面積計算を組み合わせた典型的な問題である。動円の中心の回転角 $\theta$ と、動円自身の自転角との関係を正確に把握し、$x(\theta), y(\theta)$ を立式できるかが最大の関門となる。

面積を求めるにあたっては、$y$ の積分 $\int y dx$ ではなく、動径が掃く面積の公式 $S = \frac{1}{2}\int(xy' - yx')d\theta$ を用いると計算が見通しやすくなる。被積分関数 $xy' - yx'$ の計算では、展開後に加法定理（積和の公式）を用いることで定数と単一の $\cos$ の項に綺麗に整理できる。