東京大学 2006年 理系 第5問 解説

方針・初手

漸化式が分数形であり、(1) で逆数をとる誘導が与えられているため、素直に $b_n = \frac{1}{a_n}$ の階差数列を調べることから始める。

（2）は、（1）で得られた $a_n$ の不等式を用いて、はさみうちの原理を適用する。和の評価には定積分との比較を用いる。

（3）は、$b_n$ の一般項を階差数列の和として表し、両辺を $n$ で割ることで（2）の結果を直接利用する形に持ち込む。

解法1

(1)

まず、すべての自然数 $n$ について $a_n > 0$ であることを数学的帰納法で示す。

(i)

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{1}{2} > 0$ より成立する。

(ii)

$n=k$ のとき $a_k > 0$ と仮定すると、$1+a_k > 0$ であるから $a_{k+1} = \frac{a_k}{(1+a_k)^2} > 0$ となり、$n=k+1$ のときも成立する。

したがって、すべての自然数 $n$ について $a_n > 0$ であり、$b_n = \frac{1}{a_n}$ は常に正の値として定義される。

漸化式 $a_{n+1} = \frac{a_n}{(1+a_n)^2}$ の両辺の逆数をとると、

$$ \frac{1}{a_{n+1}} = \frac{(1+a_n)^2}{a_n} $$

$$ \frac{1}{a_{n+1}} = \frac{1 + 2a_n + a_n^2}{a_n} = \frac{1}{a_n} + 2 + a_n $$

$b_n = \frac{1}{a_n}$ であるから、

$$ b_{n+1} = b_n + 2 + a_n $$

よって、$b_{n+1} - b_n = 2 + a_n$ となる。

$a_n > 0$ より、$b_{n+1} - b_n > 2$ である。

$n > 1$ のとき、

$$ b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (b_{k+1} - b_k) $$

$b_1 = \frac{1}{a_1} = 2$ であるから、

$$ b_n > 2 + \sum_{k=1}^{n-1} 2 $$

$$ b_n > 2 + 2(n-1) = 2n $$

以上より、$n > 1$ のとき $b_n > 2n$ となることが示された。

(2)

（1）の結果より、$n \ge 2$ のとき $b_n > 2n$ であるから、$0 < a_n < \frac{1}{2n}$ が成り立つ。

したがって、

$$ 0 < \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k = \frac{1}{n} \left( a_1 + \sum_{k=2}^n a_k \right) < \frac{1}{n} \left( \frac{1}{2} + \sum_{k=2}^n \frac{1}{2k} \right) $$

ここで、自然数 $k \ge 2$ に対して、区間 $k-1 \le x \le k$ において関数 $y = \frac{1}{x}$ は単調減少であるから、

$$ \frac{1}{k} < \int_{k-1}^k \frac{1}{x} dx $$

辺々を加えると、

$$ \sum_{k=2}^n \frac{1}{k} < \sum_{k=2}^n \int_{k-1}^k \frac{1}{x} dx = \int_1^n \frac{1}{x} dx = \log n $$

これを用いると、

$$ 0 < \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k < \frac{1}{n} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \log n \right) $$

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ および $\lim_{n \to \infty} \frac{\log n}{n} = 0$ であるから、右辺の極限は、

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \log n \right) = 0 $$

はさみうちの原理より、

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} (a_1 + a_2 + \cdots + a_n) = 0 $$

(3)

（1）の途中で得られた式 $b_{k+1} - b_k = 2 + a_k$ の辺々を $k=1$ から $n-1$ まで加えると ($n \ge 2$)、

$$ \sum_{k=1}^{n-1} (b_{k+1} - b_k) = \sum_{k=1}^{n-1} (2 + a_k) $$

$$ b_n - b_1 = 2(n-1) + \sum_{k=1}^{n-1} a_k $$

$b_1 = 2$ であるから、

$$ b_n = 2n + \sum_{k=1}^{n-1} a_k $$

両辺を $n$ で割ると、

$$ \frac{b_n}{n} = 2 + \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} a_k $$

ここで、（2）の結果より $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k = 0$ であり、

$$ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} a_k = \frac{n-1}{n} \cdot \frac{1}{n-1} \sum_{k=1}^{n-1} a_k $$

$\lim_{n \to \infty} \frac{n-1}{n} = 1$ かつ $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n-1} \sum_{k=1}^{n-1} a_k = 0$ であるから、

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} a_k = 1 \cdot 0 = 0 $$

ゆえに、

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{n} = 2 + 0 = 2 $$

求める極限は、

$$ \lim_{n \to \infty} n a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{b_n}{n}} = \frac{1}{2} $$

解説

非線形漸化式で定まる数列の極限を求める典型問題である。

（1）のように漸化式の両辺の逆数をとる操作は、$a_{n+1} = \frac{a_n}{p a_n + q}$ などの分数型の漸化式において極めて有効な定石である。逆数をとる前に、分母が $0$ にならないこと（$a_n > 0$）を帰納法で確認する手順を忘れないようにしたい。

（2）は、調和級数 $\sum \frac{1}{k}$ の評価として定積分との比較を用いる手法が問われている。$\lim_{n \to \infty} \frac{\log n}{n} = 0$ は既知として用いてよいが、面積比較による不等式評価の過程を記述することで論証が確実になる。

（3）は、$b_n$ の一般項（階差の和）を式変形し、前問（2）の結果をそのまま代入できる形に持ち込む構成となっている。前の小問が次の小問の誘導になっているという、大学入試数学における典型的な流れを掴むことが重要である。

答え

(1)

$n>1$ のとき、$b_n>2n$ である。

(2)

$$ 0 $$

(3)

$$ \frac{1}{2} $$