東京大学 2007年 理系 第1問 解説

方針・初手

整式の積を展開したときの係数の性質に関する問題である。与えられた条件から、$P(x)$ の係数について低い次数から順番に調べていく方針をとる。

$(1+x)^k$ の展開式の定数項が $1$ であることに着目し、$(1+x)^k P(x)$ の $m$ 次の係数が、$P(x)$ の $m$ 次の係数と「それより低次の係数を用いた式」の和で表せることを立式する。その後、低次の係数から順にすべて整数となることを、数学的帰納法を用いて証明する。

解法1

$P(x)$ を次数が $n$ 以上の整式とする。$P(x)$ の $i$ 次の項の係数を $a_i$ とおくと、$P(x)$ は次のように表される。

$$ P(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n + \cdots $$

また、$(1+x)^k$ を展開したときの $x^j$ の係数を $c_j$ とおくと、二項定理より各 $c_j$ は整数であり、特に定数項は $c_0 = 1$ である。 便宜上、$j > k$ となる整数 $j$ に対しては $c_j = 0$ と定めることで、任意の非負整数 $j$ に対して $c_j$ は整数であるとして扱う。

次に、整式 $(1+x)^k P(x)$ の $m$ 次の項の係数を $b_m$ とおく。 条件より、$0 \le m \le n$ を満たすすべての整数 $m$ について、$b_m$ は整数である。

$(1+x)^k P(x)$ を展開したときの $x^m$ の項は、$P(x)$ の $x^i$ の項と $(1+x)^k$ の $x^j$ の項の積であって、$i+j=m$ を満たすものの和として得られる。 したがって、$b_m$ は $a_i$ と $c_j$ を用いて次のように表される。

$$ b_m = \sum_{i=0}^{m} a_i c_{m-i} = a_m c_0 + \sum_{i=0}^{m-1} a_i c_{m-i} $$

$c_0 = 1$ であるから、

$$ b_m = a_m + \sum_{i=0}^{m-1} a_i c_{m-i} $$

これを $a_m$ について整理すると、次の関係式を得る。

$$ a_m = b_m - \sum_{i=0}^{m-1} c_{m-i} a_i \quad \cdots (*) $$

この等式 $(*)$ を用いて、「$0 \le m \le n$ を満たすすべての整数 $m$ について、$a_m$ が整数である」ことを、強い数学的帰納法により示す。

(i)

$m=0$ のとき

$(*)$ より、次が成り立つ。

$$ a_0 = b_0 $$

仮定より $b_0$ は整数であるから、$a_0$ も整数である。

(ii)

$m = 0, 1, \dots, l$ （$0 \le l < n$）のとき、$a_m$ がすべて整数であると仮定する。

$m=l+1$ のとき、$(*)$ より次が成り立つ。

$$ a_{l+1} = b_{l+1} - \sum_{i=0}^{l} c_{l+1-i} a_i $$

仮定より $b_{l+1}$ は整数である。 また、各 $c_{l+1-i}$ は整数であり、帰納法の仮定から $a_0, a_1, \dots, a_l$ もすべて整数であるため、右辺の和 $\sum_{i=0}^{l} c_{l+1-i} a_i$ は整数の和・積となり、整数である。 よって、整数の差で表される $a_{l+1}$ も整数である。

（i）、（ii） より、数学的帰納法によって $0 \le m \le n$ を満たすすべての整数 $m$ に対して、$a_m$ は整数であることが示された。

以上より、$P(x)$ の $n$ 次以下の項の係数は、すべて整数である。

解説

多項式の積の係数決定問題における定石である「次数の低い項から順に決定していく」という考え方が問われている。

$(1+x)^k$ の定数項が $1$ であるため、$a_m$ が「$b_m$」と「$a_{m-1}$ までの係数を用いた式」によって漸化式のように表せることに気づけるかが最大の鍵である。そこから先は、前のすべての結果を仮定して次の結果を導く「累積帰納法（強い帰納法）」を用いる典型的な論証問題に帰着する。シグマ記号を用いて係数の関係を一般的に記述する力も求められている。

答え

$P(x)$ の $n$ 次以下の項の係数は、すべて整数である。