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東京大学 2015年理系第3問解説

方針・初手

2つの曲線の共有点が1点のみである条件を考える。グラフの増減を調べると、この条件は2つの曲線がその共有点で接することと同値であることが分かる。接点の $x$ 座標を文字でおき、2曲線の $y$ 座標と接線の傾きが等しくなるという連立方程式を立てて解き進める。体積の計算は、外側の曲線が作る回転体から内側の曲線が作る回転体を取り除く形で定積分を立式する。

解法1

(1)

$f(x) = \log x$、$g(x) = ax^p$ とおき、$h(x) = f(x) - g(x) = \log x - ax^p$ とする。関数 $h(x)$ を微分すると、

$$ h'(x) = \frac{1}{x} - apx^{p-1} = \frac{1 - apx^p}{x} $$

となる。$h'(x) = 0$ となる $x$ は $x = (ap)^{-\frac{1}{p}}$ のみであり、この値を $x_0$ とおく。 $x < x_0$ のとき $h'(x) > 0$、$x > x_0$ のとき $h'(x) < 0$ となるため、$h(x)$ は $x = x_0$ でただ1つの極大値かつ最大値 $h(x_0)$ をとる。また、$\lim_{x \to +0} h(x) = -\infty$ であり、問題文で与えられた極限 $\lim_{x \to \infty} \frac{x^p}{\log x} = \infty$ より $\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^p} = 0$ であるから、

$$ \lim_{x \to \infty} h(x) = \lim_{x \to \infty} x^p \left( \frac{\log x}{x^p} - a \right) = \infty \cdot (0 - a) = -\infty $$

となる（$a > 0$ より）。したがって、2曲線 $y = g(x)$ と $y = f(x)$ の共有点がただ1つであるための必要十分条件は、関数 $h(x)$ の最大値が $0$ になることである。このとき、2曲線はその共有点で接する。接点 $Q$ の $x$ 座標を $t \ (t > 0)$ とおくと、$h(t) = 0$ かつ $h'(t) = 0$ が成り立つので、

$$ \begin{cases} \log t = at^p \\ \frac{1}{t} = apt^{p-1} \end{cases} $$

第2式より $apt^p = 1$、すなわち $at^p = \frac{1}{p}$ を得る。これを第1式に代入すると、

$$ \log t = \frac{1}{p} \iff t = e^{\frac{1}{p}} $$

よって、点 $Q$ の $x$ 座標は $e^{\frac{1}{p}}$ である。また、$a$ の値は、

$$ a = \frac{1}{pt^p} = \frac{1}{p(e^{\frac{1}{p}})^p} = \frac{1}{pe} $$

となる。

(2)

点 $Q$ の $x$ 座標は $e^{\frac{1}{p}}$ であり、$p > 0$ より $e^{\frac{1}{p}} > 1$ である。求める立体は、曲線 $y = ax^p \ (0 \le x \le e^{\frac{1}{p}})$ と $x$ 軸、直線 $x = e^{\frac{1}{p}}$ で囲まれる図形を $x$ 軸のまわりに回転させた立体から、曲線 $y = \log x \ (1 \le x \le e^{\frac{1}{p}})$ と $x$ 軸、直線 $x = e^{\frac{1}{p}}$ で囲まれる図形を $x$ 軸のまわりに回転させた立体を除いたものである。求める体積を $V$ とすると、

$$ V = \pi \int_{0}^{e^{\frac{1}{p}}} (ax^p)^2 dx - \pi \int_{1}^{e^{\frac{1}{p}}} (\log x)^2 dx $$

となる。それぞれの定積分を計算する。

$$ \int_{0}^{e^{\frac{1}{p}}} (ax^p)^2 dx = a^2 \left[ \frac{x^{2p+1}}{2p+1} \right]_{0}^{e^{\frac{1}{p}}} = \frac{1}{p^2 e^2} \cdot \frac{(e^{\frac{1}{p}})^{2p+1}}{2p+1} = \frac{1}{p^2(2p+1)} e^{\frac{1}{p}} $$

また、部分積分法を用いて、

$$ \begin{aligned} \int (\log x)^2 dx &= x(\log x)^2 - \int x \cdot 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} dx \\ &= x(\log x)^2 - 2 \int \log x dx \\ &= x(\log x)^2 - 2(x\log x - x) + C \quad (C \text{は積分定数}) \end{aligned} $$

となるので、

$$ \begin{aligned} \int_{1}^{e^{\frac{1}{p}}} (\log x)^2 dx &= \left[ x(\log x)^2 - 2x\log x + 2x \right]_{1}^{e^{\frac{1}{p}}} \\ &= e^{\frac{1}{p}} \left( \frac{1}{p^2} - \frac{2}{p} + 2 \right) - (0 - 0 + 2) \\ &= \frac{2p^2 - 2p + 1}{p^2} e^{\frac{1}{p}} - 2 \end{aligned} $$

これらを $V$ の式に代入して整理する。

$$ \begin{aligned} V &= \pi \left\{ \frac{1}{p^2(2p+1)} e^{\frac{1}{p}} - \left( \frac{2p^2 - 2p + 1}{p^2} e^{\frac{1}{p}} - 2 \right) \right\} \\ &= \pi \left\{ \frac{1 - (2p^2 - 2p + 1)(2p+1)}{p^2(2p+1)} e^{\frac{1}{p}} + 2 \right\} \\ &= \pi \left\{ \frac{1 - (4p^3 - 2p^2 + 1)}{p^2(2p+1)} e^{\frac{1}{p}} + 2 \right\} \\ &= \pi \left\{ \frac{-4p^3 + 2p^2}{p^2(2p+1)} e^{\frac{1}{p}} + 2 \right\} \\ &= \pi \left( \frac{2(1-2p)}{2p+1} e^{\frac{1}{p}} + 2 \right) \end{aligned} $$

(3)

(2) で求めた体積 $V$ が $2\pi$ になるので、

$$ \pi \left( \frac{2(1-2p)}{2p+1} e^{\frac{1}{p}} + 2 \right) = 2\pi $$

両辺を $\pi$ で割り、整理すると、

$$ \frac{2(1-2p)}{2p+1} e^{\frac{1}{p}} = 0 $$

$e^{\frac{1}{p}} > 0$ であるから、

$$ \frac{2(1-2p)}{2p+1} = 0 $$

よって、$1 - 2p = 0$ より $p = \frac{1}{2}$ を得る。これは $p$ が正の有理数であるという条件を満たす。

解説

微積分における標準的な問題である。(1) では「2曲線が接する」という図形的な意味を、「関数値が等しい」かつ「微分係数が等しい」という2つの数式に翻訳できるかがポイントである。共有点が1つという条件からグラフの概形を考え、接する場合しかないことを論理的に確認しておくのが丁寧な解答となる。 (2) は回転体の体積の基本に忠実に積分するのみだが、文字定数 $p$ を含むため計算がやや煩雑になる。特に $(\log x)^2$ の積分は頻出なので、素早く正確に計算できるようにしておきたい。 (3) は (2) の結果が正しく求まっていれば容易に解ける。