東京大学 2017年 理系 第3問 解説

方針・初手

与えられた変換 $w = \frac{1}{z}$ を $z = \frac{1}{w}$ と変形し、$z$ に関する条件式に代入することで $w$ の満たす方程式を導く。複素数平面における円の方程式の基本形 $|w - \gamma| = r$ （中心 $\gamma$、半径 $r$）を目指して式変形を行う。(2) では (1) の結果を利用しつつ、点の動く範囲が線分に制限されていることに注意して $w$ の変域を求める。

解法1

(1)

点 $z$ は、点 $\alpha$ と原点 $0$ を結ぶ線分の垂直二等分線 $L$ 上にあるので、次の方程式を満たす。

$$ |z| = |z - \alpha| $$

直線 $L$ は原点を通らないため、$z \neq 0$ である。 $w = \frac{1}{z}$ より $w \neq 0$ であり、$z = \frac{1}{w}$ と表せる。これを上の式に代入する。

$$ \left| \frac{1}{w} \right| = \left| \frac{1}{w} - \alpha \right| $$

両辺に $|w|$ （$w \neq 0$ より $|w| > 0$）を掛けると

$$ 1 = |1 - \alpha w| $$

$\alpha \neq 0$ より、右辺の中身を $-\alpha$ でくくると

$$ 1 = |-\alpha| \left| w - \frac{1}{\alpha} \right| $$

$|-\alpha| = |\alpha|$ であるから、両辺を $|\alpha|$ で割ると

$$ \left| w - \frac{1}{\alpha} \right| = \frac{1}{|\alpha|} $$

これは、点 $w$ が中心 $\frac{1}{\alpha}$、半径 $\frac{1}{|\alpha|}$ の円上にあることを示している。 また、この円の中心と原点との距離は $\left| \frac{1}{\alpha} - 0 \right| = \frac{1}{|\alpha|}$ であり、半径と等しいため、この円は原点を通る。 $w \neq 0$ であるから、点 $w$ の軌跡は「中心 $\frac{1}{\alpha}$、半径 $\frac{1}{|\alpha|}$ の円」から「原点（$1$ 点）」を除いたものになる。 したがって、求める円の中心と半径は以下の通りである。

中心: $\frac{1}{\alpha}$, 半径: $\frac{1}{|\alpha|} $

(2)

$\beta$ は $1$ の $3$ 乗根のうち虚部が正のものであるから、

$$ \beta = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i $$

また、$\beta^2 = \bar{\beta} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ である。 点 $\beta$ と点 $\beta^2$ を結ぶ線分上の点 $z$ は、実部が $-\frac{1}{2}$ であり、虚部が $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 以上 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 以下の値をとる。 実部が $-\frac{1}{2}$ である直線は、点 $-1$ と原点を結ぶ線分の垂直二等分線である。 すなわち、(1) において $\alpha = -1$ とした場合の直線 $L$ に他ならない。 (1) の結果より、$\alpha = -1$ のとき、点 $w$ は中心 $\frac{1}{-1} = -1$、半径 $\frac{1}{|-1|} = 1$ の円上を動く。 この円の方程式は

$$ |w + 1| = 1 $$

である。次に、$z$ が直線全体ではなく線分上のみを動くことによる、$w$ の範囲の制限を考える。 $z = x + yi$ とおくと、線分の条件から $x = -\frac{1}{2}$ かつ $-\frac{\sqrt{3}}{2} \leqq y \leqq \frac{\sqrt{3}}{2}$ である。 $w = \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}$ より、

$$ w = \frac{-\frac{1}{2} - yi}{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + y^2} = \frac{-\frac{1}{2}}{y^2 + \frac{1}{4}} + \frac{-y}{y^2 + \frac{1}{4}} i $$

$w = u + vi$ （$u, v$ は実数）とおくと、実部 $u$ は

$$ u = \frac{-\frac{1}{2}}{y^2 + \frac{1}{4}} $$

$y$ の範囲 $-\frac{\sqrt{3}}{2} \leqq y \leqq \frac{\sqrt{3}}{2}$ より、$0 \leqq y^2 \leqq \frac{3}{4}$ であるから、分母の範囲は

$$ \frac{1}{4} \leqq y^2 + \frac{1}{4} \leqq 1 $$

したがって、各辺の逆数をとると

$$ 1 \leqq \frac{1}{y^2 + \frac{1}{4}} \leqq 4 $$

これに $-\frac{1}{2}$ を掛けることで、$u$ の取り得る範囲は

$$ -2 \leqq u \leqq -\frac{1}{2} $$

となる。 点 $w$ は円 $|w + 1| = 1$ 上にあり、かつその実部 $u$ が $-2 \leqq u \leqq -\frac{1}{2}$ を満たす範囲を動く。 円 $|w + 1| = 1$ 上において、実部が $-2$ となるのは $w = -2$ のときのみである。 実部が $-\frac{1}{2}$ となるのは、$\left(-\frac{1}{2} + 1\right)^2 + v^2 = 1$ より $v^2 = \frac{3}{4}$、すなわち $v = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$ のときであり、これは $w = \beta, \beta^2$ に対応する。 よって、求める軌跡は円 $|w + 1| = 1$ のうち、実部が $-2$ 以上 $-\frac{1}{2}$ 以下となる部分（両端を含む）である。

解法2

(2) の別解（極形式の利用）

$z$ は実部が $-\frac{1}{2}$ であり、点 $\beta$ と点 $\beta^2$ を結ぶ線分上を動く。 極形式で $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ とすると、$w = \frac{1}{z} = \frac{1}{r}(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))$ であるから、

$$ |w| = \frac{1}{|z|}, \quad \arg w = -\arg z $$

が成り立つ。 線分上の点 $z$ の絶対値 $|z|$ は、原点に最も近い $z = -\frac{1}{2}$ のとき最小値 $\frac{1}{2}$ をとり、端点 $z = \beta, \beta^2$ のとき最大値 $1$ をとる。したがって、$\frac{1}{2} \leqq |z| \leqq 1$ より、

$$ 1 \leqq |w| \leqq 2 $$

また、点 $z$ の偏角 $\arg z$ の範囲は、$-\frac{2\pi}{3} \leqq \arg z \leqq \frac{2\pi}{3}$ であるから、$\arg w$ の範囲も

$$ -\frac{2\pi}{3} \leqq \arg w \leqq \frac{2\pi}{3} $$

となる。 (1) の結果より、点 $w$ は中心 $-1$、半径 $1$ の円 $|w + 1| = 1$ 上を動くことがわかっている。この円周上で、原点からの距離 $|w|$ が $1$ 以上 $2$ 以下、かつ偏角が $-\frac{2\pi}{3}$ 以上 $\frac{2\pi}{3}$ 以下となる範囲を考えればよい。 円 $|w + 1| = 1$ を図示して上記の条件を重ね合わせると、軌跡は点 $\beta$ と点 $\beta^2$ を端点とし、点 $-2$ を通る円弧となることがわかる。

解説

複素数平面における反転 $w = 1/z$ を扱う典型的な問題である。 (1) では、原点を通らない直線が原点を通る円（原点自身は除く）に移るという基本的な性質を代数的に導出している。 (2) は (1) の誘導に乗ることで、軌跡を含む図形が円 $|w + 1| = 1$ であることはすぐに分かる。軌跡の限界（端点）を調べる際、解法1のように $z$ の実部や虚部を媒介変数として $w$ の実部の範囲を求める手法が確実である。また、解法2のように極形式を用いて $|w|$ と偏角 $\arg w$ の変域から図形的に特定することも、計算量が少なく視覚的にもわかりやすいため有効なアプローチである。

答え

(1)

中心 $\frac{1}{\alpha}$, 半径 $\frac{1}{|\alpha|}$

(2)

軌跡は、中心 $-1$、半径 $1$ の円 $|w + 1| = 1$ のうち、実部が $-2$ 以上 $-\frac{1}{2}$ 以下となる部分である。 図示すると、複素数平面上で点 $-1$ を中心とする半径 $1$ の円のうち、点 $-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ （すなわち $\beta$）、点 $-2$、点 $-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$ （すなわち $\beta^2$）を結ぶ左側の円弧部分（実部が $-\frac{1}{2}$ 以下の領域に含まれる弧、端点を含む）となる。