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東京大学 2017年理系第5問解説

方針・初手

2つの放物線 $C$ と $D$ の両方に接する直線を考える。直線の方程式を $y=ax+b$ とおき、それぞれの放物線の方程式と連立して得られる2次方程式が重解を持つ条件（判別式 $D=0$）を立式する。 (2)では、(1)で得られた関係式に $a=2$ を代入して $k$ の値を決定する。その後、$k$ の値を固定した上で、$a \neq -1$ の場合と $a = -1$ の場合について共通接線の存在を漏れなく調べる。

解法1

(1)

共通接線の方程式を $y = ax + b$ とする。

直線が放物線 $C : y = x^2 + k$ に接する条件は、2次方程式

$$ x^2 + k = ax + b $$

$$ x^2 - ax + k - b = 0 $$

が重解を持つことである。その判別式を $D_1$ とすると、$D_1 = 0$ より

$$ (-a)^2 - 4(k - b) = 0 $$

$$ b = k - \frac{a^2}{4} \cdots \text{①} $$

次に、直線が放物線 $D : x = y^2 + k$ に接する条件を考える。 $a = 0$ のとき、直線は $y = b$ となり、$D$ と連立すると $x = b^2 + k$ となる。これは放物線 $D$ とただ1点で交わるが、接線ではない。よって $a \neq 0$ である。直線の方程式を $x = \frac{1}{a}y - \frac{b}{a}$ と変形し、$D$ の方程式と連立すると

$$ \frac{1}{a}y - \frac{b}{a} = y^2 + k $$

$$ ay^2 - y + ak + b = 0 $$

この2次方程式が重解を持つための条件は、判別式を $D_2$ とすると、$D_2 = 0$ より

$$ (-1)^2 - 4a(ak + b) = 0 $$

$$ 1 - 4a^2k - 4ab = 0 \cdots \text{②} $$

①を②に代入して $b$ を消去すると

$$ 1 - 4a^2k - 4a \left( k - \frac{a^2}{4} \right) = 0 $$

$$ 1 - 4a^2k - 4ak + a^3 = 0 $$

$$ a^3 + 1 - 4ak(a + 1) = 0 $$

$$ (a + 1)(a^2 - a + 1) - 4ak(a + 1) = 0 $$

$$ (a + 1)(a^2 - a + 1 - 4ak) = 0 $$

ここで、$a \neq -1$ より $a + 1 \neq 0$ であるから、両辺を $a + 1$ で割って

$$ a^2 - a + 1 - 4ak = 0 $$

$a \neq 0$ より

$$ k = \frac{a^2 - a + 1}{4a} $$

これを①に代入して

$$ b = \frac{a^2 - a + 1}{4a} - \frac{a^3}{4a} = \frac{-a^3 + a^2 - a + 1}{4a} $$

(2)

傾きが $2$ の共通接線が存在するので、(1)で求めた $k$ を表す式に $a = 2$ を代入して

$$ k = \frac{2^2 - 2 + 1}{4 \cdot 2} = \frac{3}{8} $$

このとき、$k = \frac{3}{8}$ に対する共通接線をすべて求める。

(i)

$a \neq -1$ のとき

(1)で求めた $k$ の式より

$$ \frac{a^2 - a + 1}{4a} = \frac{3}{8} $$

整理すると

$$ 2(a^2 - a + 1) = 3a $$

$$ 2a^2 - 5a + 2 = 0 $$

$$ (2a - 1)(a - 2) = 0 $$

よって、$a = \frac{1}{2}, 2$ となり、これらは $a \neq -1$ を満たす。それぞれの $y$ 切片 $b$ は、(1)の①より $b = \frac{3}{8} - \frac{a^2}{4}$ であるから

$a = \frac{1}{2}$ のとき

$$ b = \frac{3}{8} - \frac{1}{16} = \frac{5}{16} $$

$a = 2$ のとき

$$ b = \frac{3}{8} - 1 = -\frac{5}{8} $$

(ii)

$a = -1$ のとき

直線の方程式は $y = -x + b$ となる。これが $C: y = x^2 + \frac{3}{8}$ と接する条件は、連立して得られる方程式

$$ x^2 + x + \frac{3}{8} - b = 0 $$

の判別式が $0$ になることなので

$$ 1^2 - 4 \left( \frac{3}{8} - b \right) = 0 $$

$$ 1 - \frac{3}{2} + 4b = 0 \implies b = \frac{1}{8} $$

一方、直線 $x = -y + b$ が $D: x = y^2 + \frac{3}{8}$ に接する条件は、連立して得られる方程式

$$ -y + b = y^2 + \frac{3}{8} \implies y^2 + y + \frac{3}{8} - b = 0 $$

の判別式が $0$ になることであり、上と全く同じ式となるため $b = \frac{1}{8}$ を得る。したがって、$y = -x + \frac{1}{8}$ は両方の放物線に接し、共通接線となる。

以上より、共通接線は $y = 2x - \frac{5}{8}$、$y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{16}$、$y = -x + \frac{1}{8}$ のちょうど3本存在することが示された。

解法2

(1)

放物線 $C$ と $D$ は、直線 $y = x$ に関して対称である。共通接線 $l: y = ax + b$ を $y = x$ に関して折り返した直線 $l'$ もまた、共通接線となる。 $l$ の逆関数として $l'$ の方程式を求めると（$a \neq 0$ として）、

$$ x = ay + b \implies y = \frac{1}{a}x - \frac{b}{a} $$

一方、(1) の解法1における①の計算過程より、放物線 $C$ に接する傾きが $m$ の接線の $y$ 切片は $b = k - \frac{m^2}{4}$ と一意に表せる。したがって、傾き $\frac{1}{a}$ の共通接線 $l'$ の $y$ 切片 $-\frac{b}{a}$ は

$$ -\frac{b}{a} = k - \frac{1}{4a^2} $$

と表せる。①より $b = k - \frac{a^2}{4}$ なので、これを代入すると

$$ -\frac{1}{a} \left( k - \frac{a^2}{4} \right) = k - \frac{1}{4a^2} $$

両辺に $-4a^2$ を掛けて整理する。

$$ 4a \left( k - \frac{a^2}{4} \right) = -4a^2k + 1 $$

$$ 4ak - a^3 = -4a^2k + 1 $$

$$ 4ak(a + 1) = a^3 + 1 $$

$$ 4ak(a + 1) = (a + 1)(a^2 - a + 1) $$

$a \neq -1$ より $a + 1 \neq 0$ であるから

$$ 4ak = a^2 - a + 1 \implies k = \frac{a^2 - a + 1}{4a} $$

また、$b$ は

$$ b = \frac{a^2 - a + 1}{4a} - \frac{a^2}{4} = \frac{-a^3 + a^2 - a + 1}{4a} $$

解説

放物線と直線の接する条件は、連立して得られる2次方程式の判別式 $D=0$ を利用するのが基本である。(1)では、この方針に従って実直に計算を進めることで $a^3+1$ という因数が現れ、$a \neq -1$ の条件を用いて式を簡略化できる。

解法2に示したように、2つの放物線 $C: y = x^2 + k$ と $D: x = y^2 + k$ が直線 $y = x$ に関して対称（逆関数の関係）であることを利用すると、計算量を大幅に減らすことができる。図形的性質の活用は時間短縮に有効である。 (2)では、(1)の前提条件である $a \neq -1$ から外れる場合、つまり $a = -1$ の場合について、共通接線が存在しうるかどうかの検証を忘れないことが極めて重要である。