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北海道大学 1962年文系第8問解説

方針・初手

(1) は $t \to x$ の極限であるため、変数 $t$ に関する極限として扱い、$x$ は定数とみなして計算する。分子に $x\sqrt{x-1}$ を足し引きして因数分解や有理化の形に持ち込むか、微分係数の定義を利用することで極限を求めることができる。

(2) は (1) で求めた無理関数を含む方程式を解く。両辺を2乗して解を求めるが、同値性を保つための条件（左辺と右辺の符号の不一致による無縁解）に注意する。

(3) は商の微分公式を用いて、(1) で得られた $f(x)$ を $x$ で微分するだけである。

解法1

(1)

与えられた極限の式の分子について、$x\sqrt{x-1}$ を引いて足すことで式を変形する。

$$ \begin{aligned} f(x) &= \lim_{t \to x} \frac{t\sqrt{x-1} - x\sqrt{x-1} + x\sqrt{x-1} - x\sqrt{t-1}}{t-x} \\ &= \lim_{t \to x} \left( \frac{(t-x)\sqrt{x-1}}{t-x} - x \frac{\sqrt{t-1} - \sqrt{x-1}}{t-x} \right) \\ &= \lim_{t \to x} \left\{ \sqrt{x-1} - x \frac{(\sqrt{t-1} - \sqrt{x-1})(\sqrt{t-1} + \sqrt{x-1})}{(t-x)(\sqrt{t-1} + \sqrt{x-1})} \right\} \\ &= \lim_{t \to x} \left\{ \sqrt{x-1} - x \frac{(t-1) - (x-1)}{(t-x)(\sqrt{t-1} + \sqrt{x-1})} \right\} \\ &= \lim_{t \to x} \left\{ \sqrt{x-1} - x \frac{t-x}{(t-x)(\sqrt{t-1} + \sqrt{x-1})} \right\} \\ &= \lim_{t \to x} \left( \sqrt{x-1} - \frac{x}{\sqrt{t-1} + \sqrt{x-1}} \right) \end{aligned} $$

ここで $t \to x$ とすると、

$$ \begin{aligned} f(x) &= \sqrt{x-1} - \frac{x}{\sqrt{x-1} + \sqrt{x-1}} \\ &= \sqrt{x-1} - \frac{x}{2\sqrt{x-1}} \\ &= \frac{2(x-1) - x}{2\sqrt{x-1}} \\ &= \frac{x-2}{2\sqrt{x-1}} \end{aligned} $$

(2)

(1) の結果より、$f(x) = -\frac{3}{4}$ は次の方程式となる。

$$ \frac{x-2}{2\sqrt{x-1}} = -\frac{3}{4} $$

分母を払って整理すると

$$ 2(x-2) = -3\sqrt{x-1} $$

ここで、平方根の性質より $\sqrt{x-1} > 0$（$x>1$より）であるから、右辺は負の値をとる。したがって、左辺も負でなければならず、$x - 2 < 0$ すなわち $x < 2$ が成り立つ必要がある。問題の条件 $1 < x$ と合わせて、解の存在範囲は $1 < x < 2$ となる。

この条件のもとで両辺を2乗すると

$$ 4(x-2)^2 = 9(x-1) $$

$$ 4(x^2 - 4x + 4) = 9x - 9 $$

$$ 4x^2 - 16x + 16 - 9x + 9 = 0 $$

$$ 4x^2 - 25x + 25 = 0 $$

左辺を因数分解して

$$ (4x - 5)(x - 5) = 0 $$

これより $x = \frac{5}{4}, 5$ を得るが、$1 < x < 2$ を満たすのは $x = \frac{5}{4}$ のみである。（$x=5$ は無縁解）

(3)

$f(x) = \frac{x-2}{2\sqrt{x-1}}$ を商の微分法を用いて微分する。

$$ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{(x-2)' \cdot 2\sqrt{x-1} - (x-2) \cdot (2\sqrt{x-1})'}{(2\sqrt{x-1})^2} \\ &= \frac{1 \cdot 2\sqrt{x-1} - (x-2) \cdot 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}}}{4(x-1)} \\ &= \frac{2\sqrt{x-1} - \frac{x-2}{\sqrt{x-1}}}{4(x-1)} \end{aligned} $$

分子と分母に $\sqrt{x-1}$ を掛けて整理する。

$$ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{2(x-1) - (x-2)}{4(x-1)\sqrt{x-1}} \\ &= \frac{2x - 2 - x + 2}{4(x-1)\sqrt{x-1}} \\ &= \frac{x}{4(x-1)\sqrt{x-1}} \end{aligned} $$

解法2

(1) について、微分係数の定義を利用する別解

変数 $t$ の関数 $h(t)$ を以下のように定める。

$$ h(t) = t\sqrt{x-1} - x\sqrt{t-1} $$

このとき、$t=x$ を代入すると

$$ h(x) = x\sqrt{x-1} - x\sqrt{x-1} = 0 $$

となる。したがって、与えられた極限は次のように微分係数の定義式として書き換えられる。

$$ f(x) = \lim_{t \to x} \frac{h(t) - h(x)}{t-x} = h'(x) $$

ここで、$h(t)$ を $t$ で微分する（このとき $x$ は定数として扱う）。

$$ h'(t) = \sqrt{x-1} - x \cdot \frac{1}{2\sqrt{t-1}} $$

ゆえに、$t=x$ を代入して

$$ \begin{aligned} f(x) = h'(x) &= \sqrt{x-1} - \frac{x}{2\sqrt{x-1}} \\ &= \frac{2(x-1) - x}{2\sqrt{x-1}} \\ &= \frac{x-2}{2\sqrt{x-1}} \end{aligned} $$

解説

(1) において、$t \to x$ の極限では「$x$ は定数、$t$ が変数」として扱うという視点が重要である。解法2のように、式全体を $t$ の関数と見て微分係数の定義に帰着させると、煩雑な極限計算を避けて簡潔に答えを導くことができる。 (2) の無理方程式の解法では、両辺を2乗した際に「無縁解（もとの方程式を満たさない解）」が混入する可能性がある。本問では $2(x-2) = -3\sqrt{x-1}$ の時点で左辺が負になる条件 ($x<2$) を押さえておくか、出てきた解 ($x=5$) を元の方程式に代入して適不適を吟味する手順が必須となる。