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北海道大学 1967年文系第3問解説

方針・初手

$x$軸、$y$軸をそれぞれ正の向きに鋭角だけ回転して得られた直線が新しい座標軸であるという条件から、旧座標系 $(x,y)$ と新座標系 $(X,Y)$ の関係式を導く。その後は、求めた関係式を用いて点の座標や図形の方程式を変換していく。

解法1

(1)

旧座標系の $x$軸正の向きを表す単位ベクトル $(1, 0)$ を原点周りに正の向きに鋭角 $\alpha$ 回転して得られる単位ベクトル $\vec{u_1}$ は、$(\cos \alpha, \sin \alpha)$ （ただし $\cos \alpha > 0, \sin \alpha > 0$）と表せる。

これが直線①：$2x - y = 0 \iff y = 2x$ と平行になるので、新しい $X$軸正の向きを表す単位ベクトルは以下のようになる。

$$ \vec{u_1} = \left( \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}} \right) $$

同様に、旧座標系の $y$軸正の向きを表す単位ベクトル $(0, 1)$ を原点周りに正の向きに鋭角 $\beta$ 回転して得られる単位ベクトル $\vec{u_2}$ は、$(-\sin \beta, \cos \beta)$ （ただし $\sin \beta > 0, \cos \beta > 0$）と表せる。

したがって $\vec{u_2}$ の $x$成分は負、$y$成分は正である。これが直線②：$x + y = 0 \iff y = -x$ と平行になるので、新しい $Y$軸正の向きを表す単位ベクトルは以下のようになる。

$$ \vec{u_2} = \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right) $$

平面上の任意の点 $P$ について、旧座標を $(x, y)$、新座標を $(X, Y)$ とすると、原点を $O$ として位置ベクトル $\vec{OP}$ は次のように表せる。

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = X \vec{u_1} + Y \vec{u_2} = X \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}} \\ \frac{2}{\sqrt{5}} \end{pmatrix} + Y \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} $$

成分ごとに比較して、以下の関係式を得る。

$$ \begin{cases} x = \frac{1}{\sqrt{5}}X - \frac{1}{\sqrt{2}}Y \\ y = \frac{2}{\sqrt{5}}X + \frac{1}{\sqrt{2}}Y \end{cases} $$

点 $F(1, 2)$ の新座標 $(X, Y)$ を求める。上の連立方程式に $x=1, y=2$ を代入する。

$$ \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{5}}X - \frac{1}{\sqrt{2}}Y = 1 \\ \frac{2}{\sqrt{5}}X + \frac{1}{\sqrt{2}}Y = 2 \end{cases} $$

2式の和をとると、以下のようになる。

$$ \frac{3}{\sqrt{5}}X = 3 \iff X = \sqrt{5} $$

これを第1式に代入して $Y$ を求める。

$$ 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}Y = 1 \iff Y = 0 $$

したがって、新しい座標軸に関する点 $F$ の座標は $(\sqrt{5}, 0)$ である。

次に、直線 $l: x + 2y + 5 = 0$ の新しい座標軸に関する方程式を求める。$x, y$ の関係式を代入する。

$$ \left( \frac{1}{\sqrt{5}}X - \frac{1}{\sqrt{2}}Y \right) + 2\left( \frac{2}{\sqrt{5}}X + \frac{1}{\sqrt{2}}Y \right) + 5 = 0 $$

$$ \frac{5}{\sqrt{5}}X + \frac{1}{\sqrt{2}}Y + 5 = 0 $$

$$ \sqrt{5}X + \frac{1}{\sqrt{2}}Y + 5 = 0 $$

これが求める方程式である。

(2)

$PF = PH$ となる点 $P(x, y)$ の軌跡の方程式を、まず旧座標系で求める。点 $F(1, 2)$ と点 $P(x, y)$ の距離の2乗は以下の通りである。

$$ PF^2 = (x - 1)^2 + (y - 2)^2 $$

点 $P(x, y)$ から直線 $l: x + 2y + 5 = 0$ に下ろした垂線の長さ $PH$ の2乗は以下の通りである。

$$ PH^2 = \frac{(x + 2y + 5)^2}{1^2 + 2^2} = \frac{(x + 2y + 5)^2}{5} $$

$PF^2 = PH^2$ より、以下の方程式が成り立つ。

$$ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = \frac{(x + 2y + 5)^2}{5} $$

両辺を5倍して整理する。

$$ 5(x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4) = x^2 + 4y^2 + 25 + 4xy + 10x + 20y $$

$$ 5x^2 + 5y^2 - 10x - 20y + 25 = x^2 + 4xy + 4y^2 + 10x + 20y + 25 $$

$$ 4x^2 - 4xy + y^2 - 20x - 40y = 0 $$

$$ (2x - y)^2 - 20(x + 2y) = 0 $$

ここで、(1) で求めた変換式から $2x - y$ と $x + 2y$ を $X, Y$ で表す。

$$ 2x - y = 2\left( \frac{1}{\sqrt{5}}X - \frac{1}{\sqrt{2}}Y \right) - \left( \frac{2}{\sqrt{5}}X + \frac{1}{\sqrt{2}}Y \right) = -\frac{3}{\sqrt{2}}Y $$

$$ x + 2y = \left( \frac{1}{\sqrt{5}}X - \frac{1}{\sqrt{2}}Y \right) + 2\left( \frac{2}{\sqrt{5}}X + \frac{1}{\sqrt{2}}Y \right) = \sqrt{5}X + \frac{1}{\sqrt{2}}Y $$

これらを軌跡の方程式に代入する。

$$ \left( -\frac{3}{\sqrt{2}}Y \right)^2 - 20\left( \sqrt{5}X + \frac{1}{\sqrt{2}}Y \right) = 0 $$

$$ \frac{9}{2}Y^2 - 20\sqrt{5}X - 10\sqrt{2}Y = 0 $$

両辺を2倍して整理する。

$$ 9Y^2 - 40\sqrt{5}X - 20\sqrt{2}Y = 0 $$

これが求める軌跡の新しい座標に関する方程式である。

解説

座標軸の変換（斜交座標への変換）を題材とした問題である。

直交座標から別の座標系への変換では、新しい座標軸の基本ベクトル（単位ベクトル）を旧座標系でどう表すかが鍵となる。本問では「$x$軸、$y$軸を正の向きに鋭角だけ回転して得られた」という条件から、方向ベクトルの符号が定まり、各軸の新しい基本ベクトルを一意に決定できる。

(2) は放物線の定義式 $PF = PH$ を用いる問題であるが、新座標系である $X$軸と $Y$軸が直交していないため、新座標系での点と直線の距離の公式は使えない。そのため、一度慣れ親しんだ旧直交座標系で軌跡の方程式を導出し、それを新座標系に変換するという手順を踏むのが最も確実な方針となる。