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北海道大学 2017年文系第2問解説

方針・初手

点 $P, Q$ は単位円上の点であるため、$|\vec{p}| = |\vec{q}| = 1$ を用いる。
「$\overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{AQ}$」という条件は、ベクトルの内積 $\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AQ} = 0$ として定式化できる。
(1) は直角三角形の斜辺の中点が外心に一致するという図形的な性質を利用すると計算を短縮できる。もちろん、内積の式を展開しても求められる。
(2) は直線 $OA$ 上の点 $B$ を $\overrightarrow{OB} = k\vec{a}$ ($k$ は実数) とおき、$|\overrightarrow{BR}|^2$ を展開して $\vec{p} \cdot \vec{q}$ に依存しない条件を求めるのが定石である。

解法1

(1)

点 $P, Q$ は円 $C$ 上の点であるため、$|\vec{p}| = |\vec{q}| = 1$ である。

$\overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{AQ}$ より $\angle PAQ = 90^\circ$ であるから、$\triangle APQ$ は直角三角形である。点 $R$ は斜辺 $PQ$ の中点であるため、直角三角形の外心となる。したがって、$AR = PR = QR = \frac{1}{2}PQ$ が成り立つ。

よって、$|\overrightarrow{AR}|^2$ は次のように求められる。

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{AR}|^2 &= \frac{1}{4} |\overrightarrow{PQ}|^2 \\ &= \frac{1}{4} |\vec{q} - \vec{p}|^2 \\ &= \frac{1}{4} (|\vec{q}|^2 - 2\vec{p} \cdot \vec{q} + |\vec{p}|^2) \\ &= \frac{1}{4} (1 - 2\vec{p} \cdot \vec{q} + 1) \\ &= \frac{1 - \vec{p} \cdot \vec{q}}{2} \end{aligned} $$

(2)

点 $B$ は直線 $OA$ 上にあるため、実数 $k$ を用いて $\overrightarrow{OB} = k\vec{a}$ とおける。

点 $R$ は線分 $PQ$ の中点であるから、$\overrightarrow{OR} = \frac{\vec{p} + \vec{q}}{2}$ である。これを用いて $|\overrightarrow{BR}|^2$ を展開する。

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{BR}|^2 &= |\overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OB}|^2 \\ &= \left| \frac{\vec{p} + \vec{q}}{2} - k\vec{a} \right|^2 \\ &= \frac{1}{4} |\vec{p} + \vec{q} - 2k\vec{a}|^2 \\ &= \frac{1}{4} \left( |\vec{p} + \vec{q}|^2 - 4k\vec{a} \cdot (\vec{p} + \vec{q}) + 4k^2|\vec{a}|^2 \right) \\ &= \frac{1}{4} \left( |\vec{p}|^2 + 2\vec{p} \cdot \vec{q} + |\vec{q}|^2 - 4k\vec{a} \cdot (\vec{p} + \vec{q}) + 4k^2|\vec{a}|^2 \right) \\ &= \frac{1}{4} \left( 2 + 2\vec{p} \cdot \vec{q} - 4k\vec{a} \cdot (\vec{p} + \vec{q}) + 4k^2r^2 \right) \end{aligned} $$

ここで、(1) とは別に $\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AQ} = 0$ を展開し、$\vec{a} \cdot (\vec{p} + \vec{q})$ の値を求める。

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AQ} &= 0 \\ (\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{q} - \vec{a}) &= 0 \\ \vec{p} \cdot \vec{q} - \vec{a} \cdot \vec{p} - \vec{a} \cdot \vec{q} + |\vec{a}|^2 &= 0 \\ \vec{a} \cdot (\vec{p} + \vec{q}) &= \vec{p} \cdot \vec{q} + r^2 \end{aligned} $$

これを先ほどの $|\overrightarrow{BR}|^2$ の式に代入する。

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{BR}|^2 &= \frac{1}{4} \left\{ 2 + 2\vec{p} \cdot \vec{q} - 4k(\vec{p} \cdot \vec{q} + r^2) + 4k^2r^2 \right\} \\ &= \frac{1}{2} \left\{ 1 + \vec{p} \cdot \vec{q} - 2k\vec{p} \cdot \vec{q} - 2kr^2 + 2k^2r^2 \right\} \\ &= \frac{1}{2} \left\{ (1 - 2k)\vec{p} \cdot \vec{q} + 1 - 2kr^2 + 2k^2r^2 \right\} \end{aligned} $$

これが点 $P, Q$ の位置によらず一定となるための条件は、内積 $\vec{p} \cdot \vec{q}$ に依存しないこと、すなわち $\vec{p} \cdot \vec{q}$ の係数が $0$ となることである。

$$ 1 - 2k = 0 \iff k = \frac{1}{2} $$

このとき、$\overrightarrow{OB} = \frac{1}{2}\vec{a}$ となるため、点 $B$ は線分 $OA$ の中点である。また、このときの $|\overrightarrow{BR}|^2$ の値は、式に $k = \frac{1}{2}$ を代入して次のように求まる。

$$ |\overrightarrow{BR}|^2 = \frac{1}{2} \left\{ 1 - 2 \cdot \frac{1}{2}r^2 + 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 r^2 \right\} = \frac{1}{2} \left( 1 - r^2 + \frac{1}{2}r^2 \right) = \frac{2 - r^2}{4} $$

解法2

(1)

$\overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{AQ}$ より $\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AQ} = 0$ であるから、これを展開する。

$$ \begin{aligned} (\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{q} - \vec{a}) &= 0 \\ \vec{p} \cdot \vec{q} - \vec{a} \cdot (\vec{p} + \vec{q}) + |\vec{a}|^2 &= 0 \end{aligned} $$

ここで $|\vec{a}| = r$ であるため、次のように変形できる。

$$ \vec{a} \cdot (\vec{p} + \vec{q}) = \vec{p} \cdot \vec{q} + r^2 $$

一方、$|\overrightarrow{AR}|^2$ を展開する。点 $R$ は線分 $PQ$ の中点なので $\overrightarrow{OR} = \frac{\vec{p} + \vec{q}}{2}$ である。

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{AR}|^2 &= |\overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OA}|^2 \\ &= \left| \frac{\vec{p} + \vec{q}}{2} - \vec{a} \right|^2 \\ &= \frac{1}{4} |\vec{p} + \vec{q} - 2\vec{a}|^2 \\ &= \frac{1}{4} \left( |\vec{p}|^2 + 2\vec{p} \cdot \vec{q} + |\vec{q}|^2 - 4\vec{a} \cdot (\vec{p} + \vec{q}) + 4|\vec{a}|^2 \right) \end{aligned} $$

$|\vec{p}| = |\vec{q}| = 1$、$|\vec{a}| = r$ と先ほど求めた $\vec{a} \cdot (\vec{p} + \vec{q})$ の値を代入する。

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{AR}|^2 &= \frac{1}{4} \left\{ 2 + 2\vec{p} \cdot \vec{q} - 4(\vec{p} \cdot \vec{q} + r^2) + 4r^2 \right\} \\ &= \frac{1}{4} (2 - 2\vec{p} \cdot \vec{q}) \\ &= \frac{1 - \vec{p} \cdot \vec{q}}{2} \end{aligned} $$

(2)

点 $B$ は直線 $OA$ 上にあるため、$\overrightarrow{OB} = k\vec{a}$ ($k$ は実数) とおける。

$\triangle BPQ$ において、線分 $PQ$ の中点が $R$ であるから、中線定理より次が成り立つ。

$$ BP^2 + BQ^2 = 2 (BR^2 + PR^2) $$

これを $BR^2$ (すなわち $|\overrightarrow{BR}|^2$) について解くと、

$$ |\overrightarrow{BR}|^2 = \frac{BP^2 + BQ^2}{2} - PR^2 $$

ここで、点 $R$ は線分 $PQ$ の中点であるから、$PR^2 = \frac{1}{4}PQ^2$ である。 (1) と同様の計算から $PQ^2 = 2 - 2\vec{p} \cdot \vec{q}$ となるため、$PR^2 = \frac{1 - \vec{p} \cdot \vec{q}}{2}$ である。

次に、$BP^2$ と $BQ^2$ をそれぞれ求める。

$$ \begin{aligned} BP^2 &= |\vec{p} - \overrightarrow{OB}|^2 \\ &= |\vec{p} - k\vec{a}|^2 \\ &= |\vec{p}|^2 - 2k\vec{a} \cdot \vec{p} + k^2|\vec{a}|^2 \\ &= 1 - 2k\vec{a} \cdot \vec{p} + k^2r^2 \end{aligned} $$

同様に、$BQ^2 = 1 - 2k\vec{a} \cdot \vec{q} + k^2r^2$ となる。これらを足し合わせ、(1) で求めた $\vec{a} \cdot (\vec{p} + \vec{q}) = \vec{p} \cdot \vec{q} + r^2$ を代入する。

$$ \begin{aligned} BP^2 + BQ^2 &= 2 - 2k\vec{a} \cdot (\vec{p} + \vec{q}) + 2k^2r^2 \\ &= 2 - 2k(\vec{p} \cdot \vec{q} + r^2) + 2k^2r^2 \end{aligned} $$

これらを中線定理から得た $|\overrightarrow{BR}|^2$ の式に代入する。

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{BR}|^2 &= \frac{2 - 2k(\vec{p} \cdot \vec{q} + r^2) + 2k^2r^2}{2} - \frac{1 - \vec{p} \cdot \vec{q}}{2} \\ &= 1 - k\vec{p} \cdot \vec{q} - kr^2 + k^2r^2 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\vec{p} \cdot \vec{q} \\ &= \frac{1}{2} - kr^2 + k^2r^2 + \left( \frac{1}{2} - k \right) \vec{p} \cdot \vec{q} \end{aligned} $$

この値が $\vec{p} \cdot \vec{q}$ に依存せず一定となる条件は、$\vec{p} \cdot \vec{q}$ の係数が $0$ となることである。

$$ \frac{1}{2} - k = 0 \iff k = \frac{1}{2} $$

このとき、$\overrightarrow{OB} = \frac{1}{2}\vec{a}$ となり、点 $B$ は線分 $OA$ の中点である。また、このときの $|\overrightarrow{BR}|^2$ の一定値は以下のようになる。

$$ |\overrightarrow{BR}|^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}r^2 + \frac{1}{4}r^2 = \frac{2 - r^2}{4} $$

解説

ベクトルの内積と図形的性質を組み合わせる標準的な問題である。直角という条件が与えられた際、内積ゼロの数式に直すだけでなく「円周角の定理の逆」や「直角三角形の斜辺の中点が外心になる」といった幾何学的な意味を意識すると、(1) のように計算量を劇的に減らすことができる。 (2) は「$P, Q$ の位置によらず一定」という条件を数式上でどのように表現するかがポイントである。変数を整理し、「変化しうる項」と「変化しない項」に分けた上で、変化しうる項（今回は $\vec{p} \cdot \vec{q}$）の係数を $0$ とすることで恒等式的に処理する手法は、軌跡や領域、図形と方程式の分野において頻出の処理である。また、線分の中点の距離の2乗を扱う問題では、解法2で示したような中線定理（パップスの定理）も有効な選択肢となる。