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北海道大学 1970年理系第3問解説

方針・初手

(1) $1$ の $5$ 乗根の性質 $\omega^5 = 1$ を利用し、$\omega \neq 1$ であることから $\omega^4 + \omega^3 + \omega^2 + \omega + 1 = 0$ を導いて次数下げや式の変形を行う。

(2) 複素数平面上で正 $5$ 角形の頂点を考え、極形式を利用して $(1, 0)$ に隣接する頂点の座標を $\cos$ を用いて表す。(1) で求めた $\alpha$ の方程式と関連付ける。

(3) (2) で得られる $\beta$ の $2$ 次方程式を用いて、与えられた $3$ 次式の次数を下げる。さらに、次数を下げた式を新たな変数と置き、元の $\beta$ の $2$ 次方程式に代入して求める方程式を導出する。

解法1

(1)

$\omega$ は $1$ の $5$ 乗根であるから、$\omega^5 = 1$ が成り立つ。

$\omega^5 - 1 = 0$ を因数分解すると、以下のようになる。

$$ (\omega - 1)(\omega^4 + \omega^3 + \omega^2 + \omega + 1) = 0 $$

$\omega \neq 1$ より $\omega - 1 \neq 0$ であるから、次が成り立つ。

$$ \omega^4 + \omega^3 + \omega^2 + \omega + 1 = 0 $$

与えられた $\alpha = \omega + \frac{1}{\omega}$ について、$\alpha^2$ を計算する。

$$ \alpha^2 = \left( \omega + \frac{1}{\omega} \right)^2 = \omega^2 + 2 + \frac{1}{\omega^2} $$

ここで、$\omega^5 = 1$ を利用すると、$\frac{1}{\omega} = \frac{\omega^5}{\omega} = \omega^4$、$\frac{1}{\omega^2} = \frac{\omega^5}{\omega^2} = \omega^3$ と変形できる。

したがって、$\alpha^2 = \omega^2 + 2 + \omega^3$ となる。

これらを用いて $\alpha^2 + \alpha$ を計算する。

$$ \begin{aligned} \alpha^2 + \alpha &= (\omega^2 + 2 + \omega^3) + (\omega + \omega^4) \\ &= \omega^4 + \omega^3 + \omega^2 + \omega + 2 \\ &= (\omega^4 + \omega^3 + \omega^2 + \omega + 1) + 1 \\ &= 0 + 1 \\ &= 1 \end{aligned} $$

(2)

原点を中心とし、$(1, 0)$ を $1$ つの頂点とする正 $5$ 角形の各頂点は、複素数平面上において $1$ の $5$ 乗根で表される。

$(1, 0)$ すなわち複素数 $1$ に隣接する頂点を表す複素数は、偏角が $\frac{2\pi}{5}$ または $-\frac{2\pi}{5}$ のものである。

どちらの頂点も実部は等しく、その値が $x$ 座標 $\beta$ となる。

$$ \beta = \cos \frac{2\pi}{5} $$

ここで、$z = \cos \frac{2\pi}{5} + i \sin \frac{2\pi}{5}$ とおくと、$z$ は $1$ の $5$ 乗根であり $z \neq 1$ を満たすため、(1) の $\omega$ として扱うことができる。

このとき、$\bar{z} = \cos \frac{2\pi}{5} - i \sin \frac{2\pi}{5} = \frac{1}{z}$ であるから、(1) の $\alpha$ を用いると次のように表せる。

$$ \alpha = z + \frac{1}{z} = z + \bar{z} = 2 \cos \frac{2\pi}{5} = 2\beta $$

(1) の結果より $\alpha^2 + \alpha - 1 = 0$ が成り立つので、$\alpha = 2\beta$ を代入する。

$$ \begin{aligned} (2\beta)^2 + 2\beta - 1 &= 0 \\ 4\beta^2 + 2\beta - 1 &= 0 \end{aligned} $$

この $2$ 次方程式を $\beta$ について解く。

$$ \beta = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot (-1)}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4} $$

ここで、$0 < \frac{2\pi}{5} < \frac{\pi}{2}$ より $\beta = \cos \frac{2\pi}{5} > 0$ であるから、正の符号をとる。

$$ \beta = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} $$

(3)

(2) より、$4\beta^2 + 2\beta - 1 = 0$ が成り立つ。

与えられた $3$ 次式 $2\beta^3 - \beta^2 - \beta$ を $4\beta^2 + 2\beta - 1$ で割って次数を下げる。

$$ \begin{aligned} 2\beta^3 - \beta^2 - \beta &= \left( 4\beta^2 + 2\beta - 1 \right) \left( \frac{1}{2}\beta - \frac{1}{2} \right) + \frac{1}{2}\beta - \frac{1}{2} \\ &= 0 \cdot \left( \frac{1}{2}\beta - \frac{1}{2} \right) + \frac{1}{2}\beta - \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{2}\beta - \frac{1}{2} \end{aligned} $$

求める $2$ 次方程式の変数を $x$ とし、$x = \frac{1}{2}\beta - \frac{1}{2}$ とおく。

これを $\beta$ について解くと、$\beta = 2x + 1$ となる。

この $\beta$ を $4\beta^2 + 2\beta - 1 = 0$ に代入する。

$$ \begin{aligned} 4(2x + 1)^2 + 2(2x + 1) - 1 &= 0 \\ 4(4x^2 + 4x + 1) + 4x + 2 - 1 &= 0 \\ 16x^2 + 16x + 4 + 4x + 1 &= 0 \\ 16x^2 + 20x + 5 &= 0 \end{aligned} $$

この方程式の係数はすべて整数であり、$x = 2\beta^3 - \beta^2 - \beta$ を $1$ つの根にもつ。

解説

(1) は $1$ の累乗根に関する典型的な問題であり、$\omega^n = 1$ を因数分解して得られる方程式を活用する。
$\omega + \bar{\omega} = 2\cos\theta$ の関係から複素数と三角比を繋ぎ合わせる処理は、図形的意味を代数的に処理する上で重要である。
(3) では $\beta$ の値を直接 $3$ 次式に代入して値を求め、そこから逆算して $2$ 次方程式を作ることも可能だが、解法のように「恒等的に $0$ になる式での割り算（次数下げ）」と「変数の置き換え」を用いると、計算が簡略化されミスを防ぎやすい。