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北海道大学 1975年文系第1問解説

方針・初手

与えられた式 $X = x + by,\ Y = ax + y$ を $X^2 + 2kXY + Y^2$ に代入し、展開して $x, y$ の次数ごとに整理します。得られた $x^2,\ xy,\ y^2$ の係数 $A,\ B,\ C$ を用いて、(2) と (3) は与えられた条件から文字を消去し、求める値を導き出します。複数の文字が含まれるため、解と係数の関係や、適切な文字消去の工夫がポイントとなります。

解法1

(1)

$X = x + by,\ Y = ax + y$ を $X^2 + 2kXY + Y^2$ に代入して展開します。

$$ \begin{aligned} X^2 + 2kXY + Y^2 &= (x + by)^2 + 2k(x + by)(ax + y) + (ax + y)^2 \\ &= (x^2 + 2bxy + b^2y^2) + 2k(ax^2 + xy + abxy + by^2) + (a^2x^2 + 2axy + y^2) \\ &= x^2 + 2bxy + b^2y^2 + 2kax^2 + 2k(1 + ab)xy + 2kby^2 + a^2x^2 + 2axy + y^2 \\ &= (1 + 2ka + a^2)x^2 + 2(b + k + kab + a)xy + (b^2 + 2kb + 1)y^2 \end{aligned} $$

これと $Ax^2 + Bxy + Cy^2$ の係数を比較して、以下の結果を得ます。

$$ \begin{aligned} A &= a^2 + 2ka + 1 \\ B &= 2(a + b + k + kab) \\ C &= b^2 + 2kb + 1 \end{aligned} $$

(2)

$A = 0,\ C = 0$ より、以下の2式が成り立ちます。

$$ \begin{aligned} a^2 + 2ka + 1 &= 0 \\ b^2 + 2kb + 1 &= 0 \end{aligned} $$

これは、$t$ についての2次方程式 $t^2 + 2kt + 1 = 0$ に $t = a$ と $t = b$ を代入した式と見ることができます。条件より $a \neq b$ であるため、$a,\ b$ はこの2次方程式の異なる2つの解です。

解と係数の関係より、以下の関係が成り立ちます。

$$ \begin{aligned} a + b &= -2k \\ ab &= 1 \end{aligned} $$

これらを $B$ の式に代入します。

$$ \begin{aligned} B &= 2(a + b + k + kab) \\ &= 2(a + b) + 2k(1 + ab) \\ &= 2(-2k) + 2k(1 + 1) \\ &= -4k + 4k \\ &= 0 \end{aligned} $$

よって、$B = 0$ となります。

(3)

$A = 0,\ B = 0$ より、以下の2式が成り立ちます。

$$ a^2 + 2ka + 1 = 0 \quad \cdots \text{①} $$

$$ 2(a + b + k + kab) = 0 \implies a + b + k(1 + ab) = 0 \quad \cdots \text{②} $$

①より $2ka = -a^2 - 1$ です。ここで、$a = 0$ と仮定すると①から $1 = 0$ となり矛盾するため、$a \neq 0$ です。

②の両辺に $2a$ を掛けて分母を払うような変形を行います。

$$ 2a(a + b) + 2ak(1 + ab) = 0 $$

これに $2ka = -a^2 - 1$ を代入します。

$$ \begin{aligned} 2a^2 + 2ab + (-a^2 - 1)(1 + ab) &= 0 \\ 2a^2 + 2ab - a^2 - a^3b - 1 - ab &= 0 \\ a^2 - a^3b + ab - 1 &= 0 \\ a^2(1 - ab) - (1 - ab) &= 0 \\ (a^2 - 1)(1 - ab) &= 0 \end{aligned} $$

条件より $ab \neq 1$ であるため、$1 - ab \neq 0$ です。したがって、

$$ a^2 - 1 = 0 \implies a = \pm 1 $$

$a = 1$ のとき、①に代入して $1 + 2k + 1 = 0 \implies k = -1$ となります。 $a = -1$ のとき、①に代入して $1 - 2k + 1 = 0 \implies k = 1$ となります。

よって、$k = \pm 1$ です。（このとき、$b$ は $ab \neq 1$ を満たす任意の実数として存在できるため、条件を満たす $a, b$ の組は存在します）

解法2

(1)

解法1の (1) と同様にして、$A, B, C$ を求めます。

$$ \begin{aligned} A &= a^2 + 2ka + 1 \\ B &= 2(a + b + k + kab) \\ C &= b^2 + 2kb + 1 \end{aligned} $$

(2), (3) に共通する恒等式の導出

$A, B, C$ を用いて $B^2 - 4AC$ の値を計算します。

$$ \frac{B}{2} = a + b + k(1 + ab) $$

$$ \left( \frac{B}{2} \right)^2 = (a + b)^2 + 2k(a + b)(1 + ab) + k^2(1 + ab)^2 $$

$$ \begin{aligned} AC &= (a^2 + 2ka + 1)(b^2 + 2kb + 1) \\ &= a^2b^2 + 2ka^2b + a^2 + 2kab^2 + 4k^2ab + 2ka + b^2 + 2kb + 1 \\ &= a^2 + b^2 + a^2b^2 + 1 + 2k(a^2b + ab^2 + a + b) + 4k^2ab \end{aligned} $$

辺々を引くと、

$$ \begin{aligned} \left( \frac{B}{2} \right)^2 - AC &= \{ (a^2 + 2ab + b^2) + 2k(a + b)(1 + ab) + k^2(1 + 2ab + a^2b^2) \} \\ &\quad - \{ a^2 + b^2 + a^2b^2 + 1 + 2k(a + b)(1 + ab) + 4k^2ab \} \\ &= 2ab + k^2(1 + 2ab + a^2b^2) - a^2b^2 - 1 - 4k^2ab \\ &= -(a^2b^2 - 2ab + 1) + k^2(a^2b^2 - 2ab + 1) \\ &= -(ab - 1)^2 + k^2(ab - 1)^2 \\ &= (k^2 - 1)(ab - 1)^2 \end{aligned} $$

両辺を $4$ 倍して、以下の恒等式を得ます。

$$ B^2 - 4AC = 4(k^2 - 1)(ab - 1)^2 \quad \cdots \text{③} $$

(2) の解答

$A = C = 0$ のとき、恒等式③の右辺の値を調べます。解法1と同様に $a, b$ は $t^2 + 2kt + 1 = 0$ の解であるから、解と係数の関係より $ab = 1$ です。これを③に代入すると、

$$ B^2 - 4 \cdot 0 \cdot 0 = 4(k^2 - 1)(1 - 1)^2 $$

$$ B^2 = 0 $$

よって、$B = 0$ となります。

(3) の解答

$A = B = 0$ のとき、恒等式③に代入すると、

$$ 0^2 - 4 \cdot 0 \cdot C = 4(k^2 - 1)(ab - 1)^2 $$

$$ 0 = 4(k^2 - 1)(ab - 1)^2 $$

条件より $ab \neq 1$ であるから $(ab - 1)^2 \neq 0$ です。したがって、

$$ k^2 - 1 = 0 $$

$$ k^2 = 1 \implies k = \pm 1 $$

解説

式展開の基本から始まり、連立方程式をどのように処理するかが問われる問題です。(2) において $a$ と $b$ が対称な式を満たしていることに気づき、2次方程式の解と係数の関係に帰着させるのが定石です。(3) では文字が多く計算が煩雑になりがちですが、$k$ を消去するのではなく、関係式から因数分解の形を作り出す式変形（解法1）が有効です。

また、解法2で示したように $B^2 - 4AC$ という式は、2次式に1次変換を施した際の「判別式」に相当するものであり、変換の前後で $(変換の行列式)^2$ 倍になるという不変式の性質を持っています。これを知っていると、計算の見通しが非常に良くなる興味深い背景を持った問題です。