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北海道大学 1981年文系第4問解説

方針・初手

A型の人が選ばれる確率は $\frac{25}{100} = \frac{1}{4}$、A型以外の人が選ばれる確率は $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ である。
(1) は、16人全員がA型以外となる独立試行の確率の式を立て、与えられた常用対数の値を用いて具体的な数値を計算する。
(2) は、18人中ちょうど2人がA型となる反復試行の確率の式を立て、(1) で求めた値を利用して計算を進める。

(1)

無作為に1人を選んだとき、その人がA型の血液型をもつ確率は $\frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ である。したがって、A型以外の血液型をもつ確率は $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ である。

16人を無作為に選んだとき、全員がA型以外の血液型をもつ確率を $P_1$ とすると、

$$ P_1 = \left( \frac{3}{4} \right)^{16} $$

となる。この値を計算するために、両辺の常用対数をとる。

$$ \log_{10} P_1 = \log_{10} \left( \frac{3}{4} \right)^{16} $$

対数の性質を用いて式を変形する。

$$ \log_{10} P_1 = 16 ( \log_{10} 3 - \log_{10} 4 ) $$

$$ \log_{10} P_1 = 16 ( \log_{10} 3 - 2 \log_{10} 2 ) $$

与えられた値 $\log_{10} 2 = 0.301$、$\log_{10} 3 = 0.477$ を代入する。

$$ \log_{10} P_1 = 16 ( 0.477 - 2 \times 0.301 ) $$

$$ \log_{10} P_1 = 16 ( 0.477 - 0.602 ) $$

$$ \log_{10} P_1 = 16 \times ( -0.125 ) $$

$-0.125 = -\frac{1}{8}$ であるから、

$$ \log_{10} P_1 = 16 \times \left( -\frac{1}{8} \right) = -2 $$

よって、

$$ P_1 = 10^{-2} = \frac{1}{100} $$

となる。

(2)

18人を無作為に選んだとき、A型の血液型をもつ人がちょうど2人である確率を $P_2$ とすると、反復試行の確率より、

$$ P_2 = {}_{18}\text{C}_2 \left( \frac{1}{4} \right)^2 \left( \frac{3}{4} \right)^{16} $$

組み合わせの部分を計算する。

$$ P_2 = \frac{18 \times 17}{2 \times 1} \times \frac{1}{16} \times \left( \frac{3}{4} \right)^{16} $$

$$ P_2 = \frac{153}{16} \times \left( \frac{3}{4} \right)^{16} $$

ここで、(1) の計算より、与えられた対数値の近似のもとで $\left( \frac{3}{4} \right)^{16} = \frac{1}{100}$ として扱えるため、これを代入する。

$$ P_2 = \frac{153}{16} \times \frac{1}{100} $$

$$ P_2 = \frac{153}{1600} $$

反復試行の確率の基本公式を用いる問題である。
(1) において、確率の累乗の計算を常用対数を用いて行うのがポイントである。計算結果がきれいな整数（$-2$）になるように対数の近似値が設定されている。
(2) では式を立てた後、むやみに累乗を計算するのではなく、(1) で求めた $\left( \frac{3}{4} \right)^{16}$ の値を利用することで計算量を大幅に減らすことができる。前の小問の結果をうまく活用するという、入試数学の基本的な構成に従っている。