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名古屋大学 1993年理系第2問解説

方針・初手

与えられた2点を通る直線を媒介変数 $t$ を用いて表し、球面の方程式に代入して $t$ についての2次方程式を導きます。直線と球面が接するという条件は、この2次方程式が重解をもつことと同値であるため、判別式 $D=0$ として $r$ と $\theta$ の関係式を導きます。その後、$r>0$ に注意して $r$ について解きます。

解法1

2点 $(-2, 0, 1)$, $(r\cos\theta, r\sin\theta, -1)$ を通る直線上の点は、実数 $t$ を用いて次のように表せる。

$$ \begin{cases} x = (1-t)(-2) + t(r\cos\theta) = (r\cos\theta + 2)t - 2 \\ y = (1-t)\cdot 0 + t(r\sin\theta) = (r\sin\theta)t \\ z = (1-t)\cdot 1 + t(-1) = 1 - 2t \end{cases} $$

この直線が球面 $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ に接するための条件は、直線上の点が球面の方程式を満たすような実数 $t$ がただ1つ存在することである。上の $x, y, z$ を球面の方程式に代入する。

$$ \{(r\cos\theta + 2)t - 2\}^2 + (rt\sin\theta)^2 + (1 - 2t)^2 = 1 $$

展開して $t$ について整理する。

$$ \begin{aligned} \{(r\cos\theta + 2)^2 t^2 - 4(r\cos\theta + 2)t + 4\} + r^2 t^2 \sin^2\theta + (1 - 4t + 4t^2) &= 1 \\ \{(r\cos\theta + 2)^2 + r^2 \sin^2\theta + 4\}t^2 - 4(r\cos\theta + 3)t + 4 &= 0 \\ (r^2 \cos^2\theta + 4r\cos\theta + 4 + r^2 \sin^2\theta + 4)t^2 - 4(r\cos\theta + 3)t + 4 &= 0 \\ (r^2 + 4r\cos\theta + 8)t^2 - 4(r\cos\theta + 3)t + 4 &= 0 \end{aligned} $$

ここで、$t^2$ の係数について $r^2 + 4r\cos\theta + 8 = (r + 2\cos\theta)^2 + 8 - 4\cos^2\theta \geqq 4 > 0$ であるため、これは常に $t$ についての2次方程式となる。この2次方程式の判別式を $D$ とすると、直線と球面が接する条件は $D=0$ である。

$$ \begin{aligned} \frac{D}{4} = 4(r\cos\theta + 3)^2 - 4(r^2 + 4r\cos\theta + 8) &= 0 \\ (r^2 \cos^2\theta + 6r\cos\theta + 9) - (r^2 + 4r\cos\theta + 8) &= 0 \\ r^2 (\cos^2\theta - 1) + 2r\cos\theta + 1 &= 0 \\ -r^2 \sin^2\theta + 2r\cos\theta + 1 &= 0 \\ r^2 \sin^2\theta - 2r\cos\theta - 1 &= 0 \end{aligned} $$

この $r$ についての方程式を解くため、$\sin\theta$ の値によって場合分けを行う。

(i) $\sin\theta = 0$ のとき

$\cos\theta = \pm 1$ である。 $\cos\theta = 1$ のとき、方程式は $-2r - 1 = 0$ となり $r = -\frac{1}{2}$ であるが、$r>0$ を満たさないため不適。 $\cos\theta = -1$ のとき、方程式は $2r - 1 = 0$ となり $r = \frac{1}{2}$ となる。これは $r>0$ を満たす。

(ii) $\sin\theta \neq 0$ のとき

$r^2 \sin^2\theta - 2r\cos\theta - 1 = 0$ は $r$ についての2次方程式である。解の公式より、

$$ \begin{aligned} r &= \frac{\cos\theta \pm \sqrt{\cos^2\theta - \sin^2\theta \cdot (-1)}}{\sin^2\theta} \\ &= \frac{\cos\theta \pm \sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta}}{\sin^2\theta} \\ &= \frac{\cos\theta \pm 1}{\sin^2\theta} \end{aligned} $$

ここで $r>0$ かつ $\sin^2\theta > 0$ であり、$-1 < \cos\theta < 1$ より $\cos\theta - 1 < 0$ となるため、複合のマイナス側は不適である。したがって、

$$ \begin{aligned} r &= \frac{\cos\theta + 1}{\sin^2\theta} \\ &= \frac{\cos\theta + 1}{1 - \cos^2\theta} \\ &= \frac{\cos\theta + 1}{(1 - \cos\theta)(1 + \cos\theta)} \\ &= \frac{1}{1 - \cos\theta} \end{aligned} $$

(i) で得られた解について、$\cos\theta = -1$ を $r = \frac{1}{1 - \cos\theta}$ に代入すると $r = \frac{1}{2}$ となり、結果が一致する。$\cos\theta = 1$ のときは分母が $0$ になるが、このとき解なしであったことと整合する。

以上より、求める $r$ の関数が得られる。

解法2

原点を $O(0, 0, 0)$、与えられた2点を $A(-2, 0, 1)$、$B(r\cos\theta, r\sin\theta, -1)$ とする。直線 $AB$ 上の点 $P$ の位置ベクトルは、実数 $t$ を用いて次のように表せる。

$$ \vec{OP} = \vec{OA} + t\vec{AB} $$

直線 $AB$ と球面が接するということは、原点 $O$ と直線 $AB$ との距離の最小値が球の半径 $1$ に等しいということである。つまり、$|\vec{OP}|^2$ の最小値が $1$ となる。

$$ \vec{AB} = (r\cos\theta + 2, r\sin\theta, -2) $$

であるから、各ベクトルの大きさの2乗と内積は以下のようになる。

$$ \begin{aligned} |\vec{OA}|^2 &= (-2)^2 + 0^2 + 1^2 = 5 \\ |\vec{AB}|^2 &= (r\cos\theta + 2)^2 + (r\sin\theta)^2 + (-2)^2 \\ &= r^2\cos^2\theta + 4r\cos\theta + 4 + r^2\sin^2\theta + 4 \\ &= r^2 + 4r\cos\theta + 8 \\ \vec{OA} \cdot \vec{AB} &= -2(r\cos\theta + 2) + 0 \cdot (r\sin\theta) + 1 \cdot (-2) \\ &= -2r\cos\theta - 6 \end{aligned} $$

したがって、$|\vec{OP}|^2$ は $t$ の関数として次のように表せる。

$$ \begin{aligned} |\vec{OP}|^2 &= |\vec{OA} + t\vec{AB}|^2 \\ &= |\vec{AB}|^2 t^2 + 2(\vec{OA} \cdot \vec{AB})t + |\vec{OA}|^2 \\ &= (r^2 + 4r\cos\theta + 8)t^2 - 2(2r\cos\theta + 6)t + 5 \end{aligned} $$

$r^2 + 4r\cos\theta + 8 > 0$ であるため、この $t$ の2次関数の最小値は、平方完成を用いて求められる。

$$ (\text{最小値}) = 5 - \frac{(2r\cos\theta + 6)^2}{r^2 + 4r\cos\theta + 8} $$

これが $1$ に等しいので、

$$ \begin{aligned} 5 - \frac{4(r\cos\theta + 3)^2}{r^2 + 4r\cos\theta + 8} &= 1 \\ \frac{4(r\cos\theta + 3)^2}{r^2 + 4r\cos\theta + 8} &= 4 \\ (r\cos\theta + 3)^2 &= r^2 + 4r\cos\theta + 8 \\ r^2\cos^2\theta + 6r\cos\theta + 9 &= r^2 + 4r\cos\theta + 8 \\ r^2(\cos^2\theta - 1) + 2r\cos\theta + 1 &= 0 \end{aligned} $$

これ以降は解法1と同様にして $r$ について解くことができる。

解説

「直線と球が接する」という図形的な条件をどのように数式化するかが問われています。解法1のように直線の媒介変数表示を球の方程式に代入し、得られた2次方程式が重解をもつ（判別式 $D=0$）と考えるのが最も標準的です。また、解法2のように原点と直線との距離が半径に等しいというベクトル・幾何的なアプローチをとることもできます。

後半の $r^2 \sin^2\theta - 2r\cos\theta - 1 = 0$ から $r$ を求める際、最高次 $r^2$ の係数に文字が含まれるため、$\sin\theta = 0$ の場合分けを忘れずに行うことが重要です。また、$r>0$ の条件を用いて、2次方程式の2つの解から適切なものを絞り込む処理も求められます。