北海道大学 1985年 文系 第3問 解説

方針・初手

(1) は三角関数の3倍角の公式を用いて、$a_n$ と $a_{n+1}$ の漸化式を導く。

(2) は指定された通り数学的帰納法で証明する。帰納法のステップ（$n=m+1$ のとき）において、(1) で求めた漸化式を利用して $a_{k}^3$ を1次の項に次数下げして計算を進めるのがポイントとなる。

解法1

(1)

与えられた条件 $\sin 3x_{n+1} = \sin x_n$ の左辺に、3倍角の公式 $\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$ を適用する。

$$ 3\sin x_{n+1} - 4\sin^3 x_{n+1} = \sin x_n $$

$a_n = \sin x_n$ ($n=0, 1, 2, \cdots$) であるから、これを代入して次の関係式を得る。

$$ a_n = 3a_{n+1} - 4a_{n+1}^3 $$

(2)

すべての自然数 $n$ に対して

$$ S_n = \sum_{k=1}^n 3^{k-1} a_k^3 = \frac{3^n}{4} a_n - \frac{1}{4} a_0 \cdots\cdots (\mathrm{A}) $$

が成り立つことを数学的帰納法で示す。

(i) $n=1$ のとき

(A) の左辺は次のようになる。

$$ S_1 = 3^0 a_1^3 = a_1^3 $$

(1) で求めた関係式 $a_n = 3a_{n+1} - 4a_{n+1}^3$ において $n=0$ とすると、$a_0 = 3a_1 - 4a_1^3$ となる。 これを変形すると $4a_1^3 = 3a_1 - a_0$ より、次を得る。

$$ a_1^3 = \frac{3}{4}a_1 - \frac{1}{4}a_0 $$

一方、(A) の右辺に $n=1$ を代入すると次のようになる。

$$ \frac{3^1}{4} a_1 - \frac{1}{4} a_0 = \frac{3}{4}a_1 - \frac{1}{4}a_0 $$

よって、左辺と右辺が等しいため、$n=1$ のとき (A) は成り立つ。

(ii) $n=m$ ($m$ は自然数) のとき (A) が成り立つと仮定する。すなわち、次が成り立つとする。

$$ S_m = \frac{3^m}{4} a_m - \frac{1}{4} a_0 $$

$n=m+1$ のときの (A) の左辺 $S_{m+1}$ を考える。

$$ \begin{aligned} S_{m+1} &= S_m + 3^m a_{m+1}^3 \\ &= \frac{3^m}{4} a_m - \frac{1}{4} a_0 + 3^m a_{m+1}^3 \end{aligned} $$

ここで、(1) の関係式より $a_m = 3a_{m+1} - 4a_{m+1}^3$ であるため、$a_{m+1}^3$ について解くと次のようになる。

$$ a_{m+1}^3 = \frac{3a_{m+1} - a_m}{4} $$

これを $S_{m+1}$ の式に代入する。

$$ \begin{aligned} S_{m+1} &= \frac{3^m}{4} a_m - \frac{1}{4} a_0 + 3^m \left( \frac{3a_{m+1} - a_m}{4} \right) \\ &= \frac{3^m}{4} a_m - \frac{1}{4} a_0 + \frac{3^{m+1}}{4} a_{m+1} - \frac{3^m}{4} a_m \\ &= \frac{3^{m+1}}{4} a_{m+1} - \frac{1}{4} a_0 \end{aligned} $$

これは (A) の右辺に $n=m+1$ を代入した式と一致する。 したがって、$n=m+1$ のときも (A) は成り立つ。

(i), (ii) より、すべての自然数 $n$ に対して、等式が成り立つことが示された。

解説

• 3倍角の公式の適用と、それを利用した数学的帰納法による証明という標準的な流れの問題である。
• (2) では帰納法のステップにおいて $S_{m+1} = S_m + 3^m a_{m+1}^3$ と変形したのち、3次式である $a_{m+1}^3$ を (1) の漸化式を用いて1次式へ「次数下げ」することが最大のポイントとなる。これにより $a_m$ の項がきれいに相殺される。

答え

(1)

$$ a_n = 3a_{n+1} - 4a_{n+1}^3 $$

(2)

数学的帰納法により証明完了。