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北海道大学 1985年文系第4問解説

方針・初手

(1) は、放物線 $C$ 上の点を設定して接線の方程式を求め、それが直線 $l$ 上の点 $P$ を通るという条件から接点の $x$ 座標についての2次方程式を導きます。その方程式が異なる2つの実数解をもつことを、判別式を用いて示します。

(2) は、放物線と2本の接線で囲まれる部分の面積 $S$ を積分によって求めます。接線の交点の $x$ 座標が $\frac{\alpha+\beta}{2}$ となる性質を利用して $S$ を $\beta-\alpha$ の式で表し、(1) で得た2次方程式の解と係数の関係から $\frac{S}{\beta-\alpha}$ の最小値を求めます。

解法1

(1)

直線 $l: y = x$ 上の任意の点 $P$ の座標を $(p, p)$ とおく。放物線 $C: y = x^2 + 1$ について、$y' = 2x$ であるから、$C$ 上の点 $(t, t^2+1)$ における接線の方程式は、

$$ y - (t^2 + 1) = 2t(x - t) $$

すなわち、

$$ y = 2tx - t^2 + 1 $$

となる。この接線が点 $P(p, p)$ を通る条件は、

$$ p = 2tp - t^2 + 1 $$

であり、これを $t$ について整理すると、

$$ t^2 - 2pt + p - 1 = 0 $$

となる。点 $P$ から $C$ に2本の接線が引けることは、この $t$ についての2次方程式が異なる2つの実数解をもつことと同値である。この2次方程式の判別式を $D$ とすると、

$$ \frac{D}{4} = (-p)^2 - 1 \cdot (p - 1) = p^2 - p + 1 $$

平方完成すると、

$$ \frac{D}{4} = \left( p - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} $$

となる。任意の実数 $p$ に対して $\left( p - \frac{1}{2} \right)^2 \geqq 0$ であるから、$D > 0$ が成り立つ。したがって、点 $P$ の位置によらず $t$ についての2次方程式は常に異なる2つの実数解をもつため、$l$ 上の任意の点 $P$ から $C$ に2本の接線が引けることが示された。

(2)

(1) の結果より、接点の $x$ 座標 $\alpha, \beta$ は2次方程式 $t^2 - 2pt + p - 1 = 0$ の2つの解である。解と係数の関係より、以下の式が成り立つ。

$$ \begin{cases} \alpha + \beta = 2p \\ \alpha\beta = p - 1 \end{cases} $$

また、$\alpha < \beta$ であるから、

$$ \begin{aligned} (\beta - \alpha)^2 &= (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta \\ &= (2p)^2 - 4(p - 1) \\ &= 4(p^2 - p + 1) \end{aligned} $$

となる。次に、接線の交点 $P$ の $x$ 座標 $p$ は、$\alpha + \beta = 2p$ より $p = \frac{\alpha + \beta}{2}$ である。 $C$ と2本の接線で囲まれる部分の面積 $S$ は、

$$ \begin{aligned} S &= \int_{\alpha}^{p} \left\{ (x^2+1) - (2\alpha x - \alpha^2 + 1) \right\} dx + \int_{p}^{\beta} \left\{ (x^2+1) - (2\beta x - \beta^2 + 1) \right\} dx \\ &= \int_{\alpha}^{p} (x - \alpha)^2 dx + \int_{p}^{\beta} (x - \beta)^2 dx \\ &= \left[ \frac{1}{3}(x - \alpha)^3 \right]_{\alpha}^{p} + \left[ \frac{1}{3}(x - \beta)^3 \right]_{p}^{\beta} \\ &= \frac{1}{3}(p - \alpha)^3 - \frac{1}{3}(p - \beta)^3 \end{aligned} $$

ここで、$p = \frac{\alpha + \beta}{2}$ より、

$$ p - \alpha = \frac{\beta - \alpha}{2}, \quad p - \beta = \frac{\alpha - \beta}{2} = - \frac{\beta - \alpha}{2} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} S &= \frac{1}{3} \left( \frac{\beta - \alpha}{2} \right)^3 - \frac{1}{3} \left( - \frac{\beta - \alpha}{2} \right)^3 \\ &= \frac{2}{3} \cdot \frac{(\beta - \alpha)^3}{8} \\ &= \frac{(\beta - \alpha)^3}{12} \end{aligned} $$

となる。求める値は $\frac{S}{\beta - \alpha}$ であるから、

$$ \frac{S}{\beta - \alpha} = \frac{\frac{(\beta - \alpha)^3}{12}}{\beta - \alpha} = \frac{(\beta - \alpha)^2}{12} $$

これに $(\beta - \alpha)^2 = 4(p^2 - p + 1)$ を代入して整理すると、

$$ \begin{aligned} \frac{S}{\beta - \alpha} &= \frac{4(p^2 - p + 1)}{12} \\ &= \frac{1}{3} (p^2 - p + 1) \\ &= \frac{1}{3} \left\{ \left( p - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} \right\} \end{aligned} $$

点 $P$ が直線 $l$ 上を動くとき、$p$ はすべての実数値をとる。したがって、$\frac{S}{\beta - \alpha}$ は $p = \frac{1}{2}$ のとき最小値をとる。

$$ \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{4} $$

解説

放物線外の点から引いた2本の接線と放物線で囲まれた面積を求める典型的な問題です。放物線の接線の交点の $x$ 座標が接点の $x$ 座標の中点になることや、囲まれる面積が $\frac{(\beta - \alpha)^3}{12}$ になること（いわゆる1/12公式）はよく知られた性質ですが、実際の入試答案では解法1のように定積分を計算して結果を導出する過程を明記することが望ましいです。解と係数の関係を用いて $\beta - \alpha$ を交点の座標パラメータ $p$ で表す処理も頻出の手法です。