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北海道大学 1987年文系第2問解説

方針・初手

(1) $\alpha, \beta$ は方程式 $x^2+x-1=0$ の解であるから、$\alpha^2+\alpha-1=0, \beta^2+\beta-1=0$ を満たします。これらの式を用いて右辺を変形し、左辺に帰着させる方針をとります。

(2) $s_n$ を求めるには、(1) で示した関係式から $t_n$ が満たす漸化式を導き、$s_n$ と $s_{n+1}$ の関係を調べる方法と、$t_n$ の定義式をそのまま代入して計算する方法があります。後半の和の計算は、等差数列と等比数列の積の和の典型的な処理を用います。

解法1

(1)

$\alpha, \beta$ は2次方程式 $x^2+x-1=0$ の解であるから、

$$ \alpha^2+\alpha-1=0 \iff \alpha^2+\alpha=1 $$

$$ \beta^2+\beta-1=0 \iff \beta^2+\beta=1 $$

が成り立ちます。示したい等式の右辺を変形すると、

$$ \begin{aligned} \alpha^{n+1} + \beta^{n+1} + \alpha^{n+2} + \beta^{n+2} &= (\alpha^{n+1} + \alpha^{n+2}) + (\beta^{n+1} + \beta^{n+2}) \\ &= \alpha^n(\alpha + \alpha^2) + \beta^n(\beta + \beta^2) \\ &= \alpha^n \cdot 1 + \beta^n \cdot 1 \\ &= \alpha^n + \beta^n \end{aligned} $$

となり、左辺と一致します。よって等式が成り立つことが示されました。

(2)

$s_n$ を $n$ を用いて表す

(1)の等式より $\alpha^{n+2} + \alpha^{n+1} = \alpha^n$ および $\beta^{n+2} + \beta^{n+1} = \beta^n$ が成り立つので、

$$ \frac{\alpha^{n+2} - \beta^{n+2}}{\sqrt{5}} + \frac{\alpha^{n+1} - \beta^{n+1}}{\sqrt{5}} = \frac{\alpha^n - \beta^n}{\sqrt{5}} $$

すなわち $t_{n+2} + t_{n+1} = t_n$ が成り立ちます。これより $t_{n+2} = t_n - t_{n+1}$ であるから、$s_{n+1}$ を変形すると、

$$ \begin{aligned} s_{n+1} &= t_{n+1}^2 - t_{n+1} t_{n+2} - t_{n+2}^2 \\ &= t_{n+1}^2 - t_{n+1} (t_n - t_{n+1}) - (t_n - t_{n+1})^2 \\ &= t_{n+1}^2 - t_n t_{n+1} + t_{n+1}^2 - (t_n^2 - 2t_n t_{n+1} + t_{n+1}^2) \\ &= -t_n^2 + t_n t_{n+1} + t_{n+1}^2 \\ &= - (t_n^2 - t_n t_{n+1} - t_{n+1}^2) \\ &= -s_n \end{aligned} $$

これより、数列 $\{s_n\}$ は公比 $-1$ の等比数列であることがわかります。

ここで、解と係数の関係より $\alpha+\beta = -1, \alpha\beta = -1$ であるため、$(\alpha-\beta)^2 = (\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta = (-1)^2 - 4(-1) = 5$ となります。これを用いて $t_1, t_2$ に関連する値を計算します。

$$ t_1^2 = \frac{(\alpha-\beta)^2}{5} = \frac{5}{5} = 1 $$

$$ t_1 t_2 = \frac{\alpha-\beta}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\alpha^2-\beta^2}{\sqrt{5}} = \frac{(\alpha-\beta)^2(\alpha+\beta)}{5} = \frac{5 \cdot (-1)}{5} = -1 $$

$$ t_2^2 = \frac{(\alpha^2-\beta^2)^2}{5} = \frac{(\alpha-\beta)^2(\alpha+\beta)^2}{5} = \frac{5 \cdot (-1)^2}{5} = 1 $$

よって、$s_1 = t_1^2 - t_1 t_2 - t_2^2 = 1 - (-1) - 1 = 1$ です。以上より、

$$ s_n = s_1 \cdot (-1)^{n-1} = (-1)^{n-1} $$

となります。

$\sum_{k=1}^n (2k-1)s_k$ を求める

求める和を $S_n$ とおくと、$S_n = \sum_{k=1}^n (2k-1)(-1)^{k-1}$ です。

$$ S_n = 1 \cdot 1 + 3 \cdot (-1) + 5 \cdot 1 + \cdots + (2n-1)(-1)^{n-1} $$

両辺に公比 $-1$ を掛けると、

$$ -S_n = 1 \cdot (-1) + 3 \cdot 1 + \cdots + (2n-3)(-1)^{n-1} + (2n-1)(-1)^n $$

辺々を引くと、

$$ \begin{aligned} 2S_n &= 1 + 2 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 + \cdots + 2 \cdot (-1)^{n-1} - (2n-1)(-1)^n \\ &= 1 + \sum_{k=2}^n 2(-1)^{k-1} - (2n-1)(-1)^n \end{aligned} $$

ここで、$\sum_{k=2}^n (-1)^{k-1}$ は、初項 $-1$、公比 $-1$、項数 $n-1$ の等比数列の和であるから、

$$ \sum_{k=2}^n (-1)^{k-1} = \frac{-1 \{ 1 - (-1)^{n-1} \}}{1 - (-1)} = \frac{-1 - (-1)^n}{2} $$

これを代入して整理します。

$$ \begin{aligned} 2S_n &= 1 + 2 \cdot \frac{-1 - (-1)^n}{2} - (2n-1)(-1)^n \\ &= 1 - 1 - (-1)^n - (2n-1)(-1)^n \\ &= \{ -1 - (2n-1) \} (-1)^n \\ &= -2n(-1)^n \\ &= 2n(-1)^{n-1} \end{aligned} $$

ゆえに、$S_n = n(-1)^{n-1}$ となります。

解法2

(2) について、$s_n$ の一般項と和をそれぞれ別のアプローチで求める解法です。

$s_n$ を $n$ を用いて表す

解と係数の関係より $\alpha+\beta = -1, \alpha\beta = -1$ です。$t_n = \frac{\alpha^n - \beta^n}{\sqrt{5}}$ を $s_n$ の式に直接代入します。

$$ \begin{aligned} s_n &= \left(\frac{\alpha^n - \beta^n}{\sqrt{5}}\right)^2 - \frac{\alpha^n - \beta^n}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\alpha^{n+1} - \beta^{n+1}}{\sqrt{5}} - \left(\frac{\alpha^{n+1} - \beta^{n+1}}{\sqrt{5}}\right)^2 \\ &= \frac{1}{5} \left\{ (\alpha^{2n} - 2(\alpha\beta)^n + \beta^{2n}) - (\alpha^{2n+1} - \alpha^n \beta^{n+1} - \alpha^{n+1} \beta^n + \beta^{2n+1}) - (\alpha^{2n+2} - 2(\alpha\beta)^{n+1} + \beta^{2n+2}) \right\} \end{aligned} $$

$\alpha\beta = -1$ を用いて整理すると、中央の積の項は

$$ - \alpha^n \beta^{n+1} - \alpha^{n+1} \beta^n = - (\alpha\beta)^n (\beta + \alpha) = - (-1)^n (-1) = (-1)^n $$

となるため、

$$ \begin{aligned} s_n &= \frac{1}{5} \left\{ (\alpha^{2n} - 2(-1)^n + \beta^{2n}) - (\alpha^{2n+1} + (-1)^n + \beta^{2n+1}) - (\alpha^{2n+2} - 2(-1)^{n+1} + \beta^{2n+2}) \right\} \\ &= \frac{1}{5} \left\{ \alpha^{2n}(1 - \alpha - \alpha^2) + \beta^{2n}(1 - \beta - \beta^2) - 2(-1)^n - (-1)^n + 2(-1)^{n+1} \right\} \end{aligned} $$

ここで $\alpha, \beta$ は $x^2+x-1=0$ の解であるから $1 - \alpha - \alpha^2 = 0, 1 - \beta - \beta^2 = 0$ となり、$\alpha, \beta$ の項は消去されます。残った定数項を計算すると、

$$ \begin{aligned} s_n &= \frac{1}{5} \left\{ -3(-1)^n - 2(-1)^n \right\} \\ &= \frac{1}{5} \left\{ -5(-1)^n \right\} \\ &= -(-1)^n \\ &= (-1)^{n-1} \end{aligned} $$

$\sum_{k=1}^n (2k-1)s_k$ を求める

和を $S_n$ とし、偶奇に分けて計算します。

$$ S_n = \sum_{k=1}^n (2k-1)(-1)^{k-1} = 1 - 3 + 5 - 7 + \cdots + (2n-1)(-1)^{n-1} $$

(i) $n$ が偶数のとき（$n=2m, m \ge 1$）

隣り合う2項ずつをペアにすると、

$$ \begin{aligned} S_{2m} &= (1 - 3) + (5 - 7) + \cdots + \{ (4m-3) - (4m-1) \} \\ &= (-2) + (-2) + \cdots + (-2) \end{aligned} $$

ペアの数は $m$ 個であるから、$S_{2m} = -2m = -n$ となります。

(ii) $n$ が奇数のとき（$n=2m-1, m \ge 1$）

$$ S_{2m-1} = S_{2m-2} + (2(2m-1)-1)(-1)^{2m-2} $$

(i) の結果より $S_{2m-2} = -(2m-2)$ であるため、

$$ \begin{aligned} S_{2m-1} &= -(2m-2) + 4m-3 \\ &= 2m-1 \\ &= n \end{aligned} $$

以上 (i), (ii) より、$n$ が偶数のとき $-n$、$n$ が奇数のとき $n$ となります。これはひとつの式で $S_n = n(-1)^{n-1}$ と表すことができます。

解説

(1) は2次方程式の解の性質を利用して高次式の次数を下げる典型的な手法です。解の公式を用いて直接代入するよりもはるかに簡潔に証明できます。
(2) の $s_n$ を求める方針として、漸化式を利用する方法（解法1）と直接代入して計算する方法（解法2）があります。解法1は、$t_n$ がフィボナッチ数列に似た漸化式を満たすことに着目すると自然に導かれます。
和の計算では、「(等差数列) $\times$ (等比数列)」の和の定石である公比を掛けて引く方法（解法1）と、具体的に書き下して規則性を見つける方法（解法2）があります。どちらも使いこなせるようにしておきたい重要な処理です。