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北海道大学 1987年文系第3問解説

方針・初手

(1) は2つの曲線の $x = t$ における接線が平行になるという条件から、それぞれの導関数の $x = t$ における値が等しいという方程式を立てて解きます。 (2) は (1) で求めた2つの $t$ の値に対応する4本の接線の方程式を求めます。これらが平行四辺形をなすことに着目し、底辺と高さから面積 $S$ を計算します。 (3) は面積 $S$ が絶対値記号を含む式として表されるため、絶対値の中身の符号によって $a$ の範囲を場合分けし、それぞれの区間で微分法を用いて増減を調べます。

解法1

(1) 与えられた関数 $f(x)$ と $g(x)$ を $x$ で微分すると、次のようになる。

$$f'(x) = 6x^2 - 6ax$$

$$g'(x) = 6x - 6a$$

2曲線の $x = t$ における接線が平行となるための条件は、$f'(t) = g'(t)$ であるから、

$$6t^2 - 6at = 6t - 6a$$

整理して因数分解すると、

$$t^2 - at - t + a = 0$$

$$t(t - a) - (t - a) = 0$$

$$(t - 1)(t - a) = 0$$

これを解いて、$t = 1, a$ を得る。

(2) (1) で求めた $t = 1$ における $y = f(x)$ と $y = g(x)$ の接線をそれぞれ $l_1, m_1$ とする。 $f(1) = a^3 - 6a + 5$、$f'(1) = 6(1-a)$ より、$l_1$ の方程式は

$$y - (a^3 - 6a + 5) = 6(1-a)(x - 1)$$

$$y = 6(1-a)x + a^3 - 1$$

$g(1) = 3a^2 - 6a + 3 = 3(a-1)^2$、$g'(1) = 6(1-a)$ より、$m_1$ の方程式は

$$y - 3(a-1)^2 = 6(1-a)(x - 1)$$

$$y = 6(1-a)x + 3a^2 - 3$$

次に、$t = a$ における $y = f(x)$ と $y = g(x)$ の接線をそれぞれ $l_2, m_2$ とする。 $f(a) = 2a^3 - 3a^3 + a^3 - 3a + 3 = -3a + 3$、$f'(a) = 0$ より、$l_2$ の方程式は

$$y = -3a + 3$$

$g(a) = 3a^2 - 6a^2 + 3a^2 = 0$、$g'(a) = 0$ より、$m_2$ の方程式は

$$y = 0$$

これら4本の接線 $l_1, m_1$ と $l_2, m_2$ が囲む図形は平行四辺形である。 $a > 1$ の条件から、水平な2直線 $l_2$ と $m_2$ の距離 $h$ は

$$h = |-3a + 3 - 0| = 3(a-1)$$

直線 $m_2$（すなわち $x$ 軸）と直線 $l_1, m_1$ との交点の $x$ 座標をそれぞれ $x_1, x_2$ とすると、

$$6(1-a)x_1 + a^3 - 1 = 0 \quad \implies \quad x_1 = \frac{a^3 - 1}{6(a-1)} = \frac{a^2 + a + 1}{6}$$

$$6(1-a)x_2 + 3a^2 - 3 = 0 \quad \implies \quad x_2 = \frac{3a^2 - 3}{6(a-1)} = \frac{a + 1}{2}$$

これより、平行四辺形の $x$ 軸上における底辺の長さ $L$ は

$$L = |x_1 - x_2| = \left| \frac{a^2 + a + 1}{6} - \frac{3(a + 1)}{6} \right| = \left| \frac{a^2 - 2a - 2}{6} \right|$$

よって、求める面積 $S$ は

$$S = L \times h = \left| \frac{a^2 - 2a - 2}{6} \right| \times 3(a-1) = \frac{a-1}{2} |a^2 - 2a - 2|$$

(3) (2) で求めた $S$ の式において、絶対値の中身 $a^2 - 2a - 2 = 0$ を解くと $a = 1 \pm \sqrt{3}$ である。 $a$ は $1 < a \leqq 3$ の範囲を動くため、$a = 1 + \sqrt{3}$ を境に絶対値の中身の符号が変わる。これに基づき場合分けを行う。

(i) $1 < a \leqq 1 + \sqrt{3}$ のとき $a^2 - 2a - 2 \leqq 0$ であるから、面積 $S$ は

$$S = \frac{1}{2}(a-1)(-a^2 + 2a + 2) = \frac{1}{2}(-a^3 + 3a^2 - 2)$$

$S$ を $a$ の関数 $S(a)$ とみて微分すると、

$$S'(a) = \frac{1}{2}(-3a^2 + 6a) = -\frac{3}{2}a(a - 2)$$

$1 < a \leqq 1 + \sqrt{3}$ において $S'(a) = 0$ となるのは $a = 2$ のときのみである。増減を調べると、$1 < a < 2$ では $S'(a) > 0$ であり、$2 < a < 1 + \sqrt{3}$ では $S'(a) < 0$ となる。したがって、$S(a)$ は $a = 2$ で極大となり、この区間における最大値をとる。

$$S(2) = \frac{1}{2}(2-1)(-2^3 + 3 \cdot 2^2 - 2) = 1$$

(ii) $1 + \sqrt{3} < a \leqq 3$ のとき $a^2 - 2a - 2 > 0$ であるから、面積 $S$ は

$$S = \frac{1}{2}(a-1)(a^2 - 2a - 2) = \frac{1}{2}(a^3 - 3a^2 + 2)$$

$S$ を微分すると、

$$S'(a) = \frac{1}{2}(3a^2 - 6a) = \frac{3}{2}a(a - 2)$$

$a > 1 + \sqrt{3}$ の範囲では常に $a > 2$ であるため、$S'(a) > 0$ となり、$S(a)$ は単調に増加する。したがって、この区間における最大値は $a = 3$ のときの値である。

$$S(3) = \frac{1}{2}(3-1)(3^3 - 3 \cdot 3^2 + 2) = 1$$

(i) と (ii) の結果から、$1 < a \leqq 3$ の範囲全体を通して $S$ の最大値は $1$ であり、最大値を与える $a$ の値は $a = 2, 3$ である。

解説

(2) で平行四辺形の面積を求める際、4つの頂点の座標をすべて求めるのは計算が煩雑になります。今回のように水平な直線（傾きが $0$）が含まれている場合は、「底辺の長さ」を $x$ 軸などの水平な直線上で測り、「高さ」を平行な2直線間の距離として計算すると効率的です。 (3) では絶対値記号を含む関数の最大・最小を考えます。中身が正になる区間と負になる区間を正確に見極め、それぞれで関数を定めて増減表をイメージすることが重要です。