トップ› 北海道大学› 1991年› 文系第3問

北海道大学 1991年文系第3問解説

方針・初手

問題の指定通り、数学的帰納法を用いて不等式を証明する。本問の不等式は $n$ が2以上の自然数について定義されているため、帰納法の出発点は $n=2$ であることに注意する。 $n=k+1$ のときの証明では、帰納法の仮定を用いて不等式を評価した後、その結果の式と $n=k+1$ のときの目標となる右辺との大小比較を行う。この際、平方の差をとる手法を用いて不等式を示す。

解法1

証明すべき不等式を次のように定める。

$$ \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dotsb + \frac{1}{\sqrt{n}} < 2\sqrt{n} - 2 \quad \dots (*) $$

(i) $n=2$ のとき

$(*)$ の左辺は $\frac{1}{\sqrt{2}}$、右辺は $2\sqrt{2} - 2$ である。両者の大小を比較するために差をとると、

$$ \begin{aligned} (右辺) - (左辺) &= 2\sqrt{2} - 2 - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ &= \frac{4 - 2\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}} \\ &= \frac{3 - 2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \end{aligned} $$

ここで、$3^2 = 9$、$(2\sqrt{2})^2 = 8$ より $3 > 2\sqrt{2}$ であるから、$3 - 2\sqrt{2} > 0$ となる。したがって、$(左辺) < (右辺)$ となり、$n=2$ のとき $(*)$ は成り立つ。

(ii) $n=k$ （$k$ は2以上の自然数）のとき $(*)$ が成り立つと仮定する。

すなわち、

$$ \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dotsb + \frac{1}{\sqrt{k}} < 2\sqrt{k} - 2 $$

が成り立つとする。 $n=k+1$ のときの $(*)$ の左辺について考えると、帰納法の仮定より以下の不等式が得られる。

$$ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dotsb + \frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} &< (2\sqrt{k} - 2) + \frac{1}{\sqrt{k+1}} \end{aligned} $$

ここで、$n=k+1$ のときの $(*)$ の右辺である $2\sqrt{k+1} - 2$ と、上記の不等式の右辺との大小関係を調べるために差をとる。

$$ \begin{aligned} (2\sqrt{k+1} - 2) - \left( 2\sqrt{k} - 2 + \frac{1}{\sqrt{k+1}} \right) &= 2\sqrt{k+1} - 2\sqrt{k} - \frac{1}{\sqrt{k+1}} \\ &= \frac{2(k+1) - 2\sqrt{k(k+1)} - 1}{\sqrt{k+1}} \\ &= \frac{2k + 1 - 2\sqrt{k(k+1)}}{\sqrt{k+1}} \end{aligned} $$

分子について、$k \geqq 2$ より $2k+1 > 0$ かつ $2\sqrt{k(k+1)} > 0$ であるから、それぞれの平方を比較する。

$$ \begin{aligned} (2k+1)^2 &= 4k^2 + 4k + 1 \\ \left( 2\sqrt{k(k+1)} \right)^2 &= 4k(k+1) = 4k^2 + 4k \end{aligned} $$

これより、$(2k+1)^2 > \left( 2\sqrt{k(k+1)} \right)^2$ が成り立つため、$2k+1 > 2\sqrt{k(k+1)}$ である。よって、分子 $2k + 1 - 2\sqrt{k(k+1)} > 0$ となる。分母 $\sqrt{k+1} > 0$ であるから、

$$ (2\sqrt{k+1} - 2) - \left( 2\sqrt{k} - 2 + \frac{1}{\sqrt{k+1}} \right) > 0 $$

すなわち、

$$ 2\sqrt{k} - 2 + \frac{1}{\sqrt{k+1}} < 2\sqrt{k+1} - 2 $$

が成り立つ。したがって、先の不等式と合わせて、

$$ \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dotsb + \frac{1}{\sqrt{k+1}} < 2\sqrt{k+1} - 2 $$

となり、$n=k+1$ のときも $(*)$ は成り立つ。

(i), (ii) より、2以上のすべての自然数 $n$ について与えられた不等式は成り立つ。

解説

数学的帰納法を用いた不等式証明の典型問題である。目標となる不等式 $A < B$ を示すために、$A < C$ （帰納法の仮定を用いた結果）と $C < B$ の2段階に分けて証明を進める論理展開が重要となる。本問では、$C < B$ の部分で無理数の大小比較が現れるが、両辺（または分子の各項）が正であることを確認した上で平方の差をとるという、基本に忠実な処理が求められる。