京都大学 1970年 文系 第2問 解説

方針・初手

問題の指定通り、数学的帰納法を用いて証明を行う。 出発点が $n=2$ であることに注意し、$n=2$ のときの成立を確認する。 次に、$n=k$（$k \ge 2$）での成立を仮定し、$n=k+1$ のときの成立を示す。このとき、仮定を用いて $(k+1)!$ を上から評価し、最終的に示したい式 $\left(\frac{k+2}{2}\right)^{k+1}$ よりも小さくなることを証明する。式の比較においては、二項定理を用いて展開し、必要な項だけを取り出して不等式を作る手法が有効である。

解法1

(I)

$n=2$ のとき

左辺と右辺をそれぞれ計算する。

左辺は、

$$ \left(\frac{2+1}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} $$

右辺は、

$$ 2! = 2 = \frac{8}{4} $$

したがって、$\frac{9}{4} > 2$ より、$n=2$ のとき与えられた不等式は成り立つ。

(II)

$n=k$（$k$ は2以上の整数）のとき、不等式が成り立つと仮定する。

すなわち、

$$ \left(\frac{k+1}{2}\right)^k > k! $$

が成り立つと仮定する。

$n=k+1$ のときを考える。

$$ (k+1)! = (k+1) \cdot k! $$

帰納法の仮定より、

$$ (k+1) \cdot k! < (k+1) \left(\frac{k+1}{2}\right)^k = \frac{(k+1)^{k+1}}{2^k} $$

ここで、目標となる右辺 $\left(\frac{k+2}{2}\right)^{k+1}$ と比較するために、これら2つの式の比をとる。

$$ \begin{aligned} \frac{\left(\frac{k+2}{2}\right)^{k+1}}{\frac{(k+1)^{k+1}}{2^k}} &= \frac{(k+2)^{k+1}}{2^{k+1}} \cdot \frac{2^k}{(k+1)^{k+1}} \\ &= \frac{1}{2} \left(\frac{k+2}{k+1}\right)^{k+1} \\ &= \frac{1}{2} \left(1 + \frac{1}{k+1}\right)^{k+1} \end{aligned} $$

二項定理を用いて $\left(1 + \frac{1}{k+1}\right)^{k+1}$ を展開すると、

$$ \left(1 + \frac{1}{k+1}\right)^{k+1} = 1 + {}_{k+1}\mathrm{C}_{1} \left(\frac{1}{k+1}\right) + {}_{k+1}\mathrm{C}_{2} \left(\frac{1}{k+1}\right)^2 + \cdots + {}_{k+1}\mathrm{C}_{k+1} \left(\frac{1}{k+1}\right)^{k+1} $$

$k \ge 2$ より、展開式の第3項以降はすべて正であるから、第2項までで評価すると、

$$ \left(1 + \frac{1}{k+1}\right)^{k+1} > 1 + (k+1) \cdot \frac{1}{k+1} = 1 + 1 = 2 $$

したがって、

$$ \frac{1}{2} \left(1 + \frac{1}{k+1}\right)^{k+1} > \frac{1}{2} \cdot 2 = 1 $$

すなわち、

$$ \frac{(k+1)^{k+1}}{2^k} < \left(\frac{k+2}{2}\right)^{k+1} $$

が成り立つ。

これまでの不等式をまとめると、

$$ (k+1)! < \frac{(k+1)^{k+1}}{2^k} < \left(\frac{k+2}{2}\right)^{k+1} $$

となり、$n=k+1$ のときも不等式が成り立つ。

（I）, （II） より、2以上のすべての整数 $n$ について、不等式 $\left(\frac{n+1}{2}\right)^n > n!$ が成り立つ。

解説

数学的帰納法の $n=k+1$ のステップにおいて、$(k+1)! < \left(\frac{k+2}{2}\right)^{k+1}$ を直接示すのが難しい場合、仮定を利用して不等式をつなぐのが定石である。本問では $\left(1+\frac{1}{k+1}\right)^{k+1} > 2$ を示す部分が最大の山場となる。このように $(1+x)^n$ の形を下から評価したい場合は、二項定理を用いて最初の2項（あるいは数項）だけを取り出す手法が非常に有効である。

なお、本問の不等式は相加平均と相乗平均の関係から直ちに導くことができる事実として有名である。$1, 2, \dots, n$ の $n$ 個の正の数に対して相加平均と相乗平均の関係を用いると、

$$ \frac{1+2+\cdots+n}{n} > \sqrt[n]{1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot n} $$

（等号は $1=2=\cdots=n$ のとき成立するが、$n \ge 2$ なので不成立）

左辺を計算すると $\frac{\frac{1}{2}n(n+1)}{n} = \frac{n+1}{2}$ となり、両辺を $n$ 乗すれば与式を得る。しかし、本問では「数学的帰納法によって」と解法が明記されているため、この解法を用いると題意を満たさないと判定されるおそれがある。あくまで見通しを良くするための知識として留めておくべきである。

答え

略（解法1の証明を参照）