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北海道大学 1991年文系第2問解説

注意画像の一部が不鮮明で、条件式の符号が「$-$」に見えますが、そのまま解釈すると点 $P$ の軌跡が存在せず（空集合となり）、以降の設問が成立しません。そのため、数学的な文脈から「$(\overrightarrow{PA}, \overrightarrow{PB}) + 3(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}) = 0$」であると判断し、以下解答解説を作成します。

方針・初手

点 $P$ の座標を $(x, y)$ と設定し、与えられた内積の条件式を $x, y$ の方程式に書き換えます。 (1) は得られた方程式から軌跡を判定します。 (2) は (1) で得られた軌跡（円）上の点を媒介変数 $\theta$ を用いて表し、対象の式を $\theta$ の関数として立式して最大・最小を求める方針が基本となります。図形的な性質（中線定理）を活用する別解も考えられます。

解法1

(1) 点 $P$ の軌跡

点 $P$ の座標を $(x, y)$ とおく。 $A(1, 0)$、$B(-1, 0)$ であるから、各ベクトルは成分を用いて次のように表される。

$$ \overrightarrow{PA} = (1-x, -y), \quad \overrightarrow{PB} = (-1-x, -y) $$

よって、内積 $(\overrightarrow{PA}, \overrightarrow{PB})$ は

$$ \begin{aligned} (\overrightarrow{PA}, \overrightarrow{PB}) &= (1-x)(-1-x) + (-y)(-y) \\ &= - (1-x)(1+x) + y^2 \\ &= x^2 + y^2 - 1 \end{aligned} $$

また、$O(0, 0)$ であるから、$\overrightarrow{OA} = (1, 0)$、$\overrightarrow{OB} = (-1, 0)$ であり、内積 $(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB})$ は

$$ (\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}) = 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 = -1 $$

これらを条件式 $(\overrightarrow{PA}, \overrightarrow{PB}) + 3(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}) = 0$ に代入すると、

$$ (x^2 + y^2 - 1) + 3(-1) = 0 $$

整理して、

$$ x^2 + y^2 = 4 $$

したがって、点 $P$ の軌跡は、原点を中心とする半径 $2$ の円である。

(2) $|\overrightarrow{PA}| \cdot |\overrightarrow{PB}|$ の最大値と最小値

(1) より、点 $P$ は円 $x^2 + y^2 = 4$ 上を動くため、実数 $\theta$ ($0 \leqq \theta < 2\pi$) を用いて $P(2\cos\theta, 2\sin\theta)$ と表すことができる。

このとき、$|\overrightarrow{PA}|^2$ および $|\overrightarrow{PB}|^2$ を計算する。

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{PA}|^2 &= (2\cos\theta - 1)^2 + (2\sin\theta)^2 \\ &= 4\cos^2\theta - 4\cos\theta + 1 + 4\sin^2\theta \\ &= 4(\cos^2\theta + \sin^2\theta) - 4\cos\theta + 1 \\ &= 5 - 4\cos\theta \end{aligned} $$

同様にして、

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{PB}|^2 &= (2\cos\theta + 1)^2 + (2\sin\theta)^2 \\ &= 4\cos^2\theta + 4\cos\theta + 1 + 4\sin^2\theta \\ &= 5 + 4\cos\theta \end{aligned} $$

求める値の2乗である $|\overrightarrow{PA}|^2 |\overrightarrow{PB}|^2$ を計算する。

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{PA}|^2 |\overrightarrow{PB}|^2 &= (5 - 4\cos\theta)(5 + 4\cos\theta) \\ &= 25 - 16\cos^2\theta \end{aligned} $$

ここで、$-1 \leqq \cos\theta \leqq 1$ より $0 \leqq \cos^2\theta \leqq 1$ である。したがって、$|\overrightarrow{PA}|^2 |\overrightarrow{PB}|^2$ は、

$\cos^2\theta = 0$ のとき、最大値 $25$ をとる。 $\cos^2\theta = 1$ のとき、最小値 $25 - 16 = 9$ をとる。

常に $|\overrightarrow{PA}| \cdot |\overrightarrow{PB}| \geqq 0$ であるから、平方根をとることで最大値と最小値が得られる。最大値は $\sqrt{25} = 5$、最小値は $\sqrt{9} = 3$ である。

解法2

(2) の別解（図形的性質の利用）

$\triangle PAB$ において、原点 $O$ は線分 $AB$ の中点である。よって、中線定理（パップスの定理）より、次が成り立つ。

$$ |\overrightarrow{PA}|^2 + |\overrightarrow{PB}|^2 = 2(|\overrightarrow{PO}|^2 + |\overrightarrow{OA}|^2) $$

(1) より、点 $P$ は原点中心、半径 $2$ の円周上にあるため $|\overrightarrow{PO}| = 2$ である。また、$|\overrightarrow{OA}| = 1$ であるから、

$$ |\overrightarrow{PA}|^2 + |\overrightarrow{PB}|^2 = 2(2^2 + 1^2) = 10 $$

となり、$|\overrightarrow{PA}|^2 + |\overrightarrow{PB}|^2$ の値は常に $10$ で一定である。

ここで、恒等式 $(X+Y)^2 - (X-Y)^2 = 4XY$ を用いる。 $X = |\overrightarrow{PA}|^2, Y = |\overrightarrow{PB}|^2$ とすると、

$$ (|\overrightarrow{PA}|^2 + |\overrightarrow{PB}|^2)^2 - (|\overrightarrow{PA}|^2 - |\overrightarrow{PB}|^2)^2 = 4|\overrightarrow{PA}|^2 |\overrightarrow{PB}|^2 $$

$$ 10^2 - (|\overrightarrow{PA}|^2 - |\overrightarrow{PB}|^2)^2 = 4|\overrightarrow{PA}|^2 |\overrightarrow{PB}|^2 $$

$$ |\overrightarrow{PA}|^2 |\overrightarrow{PB}|^2 = \frac{100 - (|\overrightarrow{PA}|^2 - |\overrightarrow{PB}|^2)^2}{4} $$

上式より、$|\overrightarrow{PA}|^2 |\overrightarrow{PB}|^2$ が最大となるのは $(|\overrightarrow{PA}|^2 - |\overrightarrow{PB}|^2)^2$ が最小となるときであり、その最小値は $0$ （$|\overrightarrow{PA}|^2 = |\overrightarrow{PB}|^2$ のとき）である。このとき、$|\overrightarrow{PA}|^2 |\overrightarrow{PB}|^2$ の最大値は $\frac{100}{4} = 25$。 $|\overrightarrow{PA}| \cdot |\overrightarrow{PB}| \geqq 0$ より、最大値は $\sqrt{25} = 5$ となる。

一方、$|\overrightarrow{PA}|^2 |\overrightarrow{PB}|^2$ が最小となるのは $(|\overrightarrow{PA}|^2 - |\overrightarrow{PB}|^2)^2$ が最大となるときである。点 $P$ が円 $x^2 + y^2 = 4$ 上を動くとき、点 $P$ と $A(1,0)$、$B(-1,0)$ との距離の差が最も大きくなるのは、点 $P$ が $x$ 軸上にあるとき、すなわち $P(2, 0)$ または $P(-2, 0)$ のときである。 $P(2, 0)$ のとき、$|\overrightarrow{PA}| = 1$、$|\overrightarrow{PB}| = 3$ となり、

$$ (|\overrightarrow{PA}|^2 - |\overrightarrow{PB}|^2)^2 = (1^2 - 3^2)^2 = (-8)^2 = 64 $$

このとき、$|\overrightarrow{PA}|^2 |\overrightarrow{PB}|^2$ の最小値は $\frac{100 - 64}{4} = 9$。 $|\overrightarrow{PA}| \cdot |\overrightarrow{PB}| \geqq 0$ より、最小値は $\sqrt{9} = 3$ となる。

解説

(1) はベクトルの内積を座標成分で表現し、条件式を素直に整理することで解決する典型的な軌跡の問題です。 (2) は、円周上の点という条件から三角関数を用いたパラメータ表示（媒介変数表示）を利用するのが最も標準的で、計算も見通しよく進みます（解法1）。一方で、点 $O$ が線分 $AB$ の中点であることに着目し、中線定理を利用することで図形的に処理することも可能です（解法2）。中線定理は、「2点からの距離の2乗の和」が現れる場面で威力を発揮するため、定石として押さえておきたい発想です。