北海道大学 1991年 文系 第4問 解説

方針・初手

$f(x)$ は $x$ の1次式であるから、$f(x) = ax+b$ （$a \neq 0$）とおくことができる。 与えられた2つの条件 $F(1) = 2$ と $F'(0) = -10$ を、$a$ と $b$ を用いた関係式に翻訳し、連立方程式を解いて $a, b$ の値を定める。 $F(x)$ の定積分を直接計算して $x$ の多項式として表す方針と、定積分で表された関数の微分法を用いる方針が考えられる。

解法1

$f(x)$ は1次式であるから、$a, b$ を定数（$a \neq 0$）として

$$f(x) = ax + b$$

とおく。

$F(x)$ の定積分を計算する。

$$ \begin{aligned} \int_{1}^{2x+3} f(t) dt &= \int_{1}^{2x+3} (at + b) dt \\ &= \left[ \frac{a}{2}t^2 + bt \right]_{1}^{2x+3} \\ &= \frac{a}{2} \left\{ (2x+3)^2 - 1^2 \right\} + b \left\{ (2x+3) - 1 \right\} \\ &= \frac{a}{2} (4x^2 + 12x + 8) + b(2x + 2) \\ &= a(2x^2 + 6x + 4) + 2b(x + 1) \\ &= 2ax^2 + (6a+2b)x + 4a+2b \end{aligned} $$

したがって、$F(x)$ は次のように表される。

$$ \begin{aligned} F(x) &= x \int_{1}^{2x+3} f(t) dt \\ &= x \{ 2ax^2 + (6a+2b)x + 4a+2b \} \\ &= 2ax^3 + (6a+2b)x^2 + (4a+2b)x \end{aligned} $$

条件 $F(1) = 2$ より、

$$ \begin{aligned} F(1) &= 2a \cdot 1^3 + (6a+2b) \cdot 1^2 + (4a+2b) \cdot 1 \\ &= 2a + 6a + 2b + 4a + 2b \\ &= 12a + 4b \end{aligned} $$

$$12a + 4b = 2$$

$$6a + 2b = 1 \quad \dots \text{**(1)**}$$

次に、$F'(x)$ を計算する。

$$F'(x) = 6ax^2 + 2(6a+2b)x + 4a+2b$$

条件 $F'(0) = -10$ より、

$$F'(0) = 4a + 2b$$

$$4a + 2b = -10$$

$$2a + b = -5 \quad \dots \text{**(2)**}$$

(1) と (2) の連立方程式を解く。 (2) より $b = -2a - 5$ であり、これを (1) に代入する。

$$6a + 2(-2a - 5) = 1$$

$$6a - 4a - 10 = 1$$

$$2a = 11$$

$$a = \frac{11}{2}$$

これを $b = -2a - 5$ に代入して、

$$b = -2 \cdot \frac{11}{2} - 5 = -11 - 5 = -16$$

$a = \frac{11}{2} \neq 0$ であるため、$f(x)$ は確かに1次式である。

ゆえに、求める $f(x)$ は

$$f(x) = \frac{11}{2}x - 16$$

解法2

$f(x)$ は1次式であるから、$a, b$ を定数（$a \neq 0$）として

$$f(x) = ax + b$$

とおく。

$$F(x) = x \int_{1}^{2x+3} f(t) dt$$

条件 $F(1) = 2$ について、$x=1$ を代入する。

$$ \begin{aligned} F(1) &= 1 \cdot \int_{1}^{5} f(t) dt \\ &= \int_{1}^{5} (at + b) dt \\ &= \left[ \frac{a}{2}t^2 + bt \right]_{1}^{5} \\ &= \frac{a}{2}(25 - 1) + b(5 - 1) \\ &= 12a + 4b \end{aligned} $$

よって、

$$12a + 4b = 2$$

$$6a + 2b = 1 \quad \dots \text{**(1)**}$$

次に、$F(x)$ を $x$ で微分する。積の導関数と合成関数の導関数の公式を用いると、

$$ \begin{aligned} F'(x) &= (x)' \int_{1}^{2x+3} f(t) dt + x \left( \int_{1}^{2x+3} f(t) dt \right)' \\ &= 1 \cdot \int_{1}^{2x+3} f(t) dt + x \cdot f(2x+3) \cdot (2x+3)' \\ &= \int_{1}^{2x+3} f(t) dt + 2x f(2x+3) \end{aligned} $$

条件 $F'(0) = -10$ について、$x=0$ を代入する。

$$ \begin{aligned} F'(0) &= \int_{1}^{3} f(t) dt + 0 \cdot f(3) \\ &= \int_{1}^{3} (at + b) dt \\ &= \left[ \frac{a}{2}t^2 + bt \right]_{1}^{3} \\ &= \frac{a}{2}(9 - 1) + b(3 - 1) \\ &= 4a + 2b \end{aligned} $$

よって、

$$4a + 2b = -10$$

$$2a + b = -5 \quad \dots \text{**(2)**}$$

以降は解法1と同様に、(1) と (2) を連立して解くことで $a = \frac{11}{2}$、$b = -16$ を得る。 （$a \neq 0$ の条件も満たす）

ゆえに、求める $f(x)$ は

$$f(x) = \frac{11}{2}x - 16$$

解説

定積分で表された関数の処理が問われている。「1次式」という条件から文字で置き、未定係数を決定する典型問題である。

解法1のように積分を計算してしまえば単なる整式の微分の問題に帰着できる。この問題では積分区間の上端が $2x+3$ の1次式であり、被積分関数も1次式であるため、直接計算してもそこまで負担にはならない。

解法2のように積の導関数と合成関数の微分法を用いると、$F(x)$ 全体の展開を避けることができる。特に被積分関数の次数が高い場合や、$F'(0)$ を求めるだけであれば $x=0$ の代入によって第2項が消えるため、計算量が大きく削減できる。一般に、積分区間に $x$ の関数が含まれる場合の微分は

$$\frac{d}{dx} \int_{a}^{g(x)} f(t) dt = f(g(x))g'(x)$$

となることに注意して丁寧に計算したい。

答え

$$f(x) = \frac{11}{2}x - 16$$