北海道大学 2017年 文系 第3問 解説

方針・初手

$n$ 秒後の状態から $n+1$ 秒後の状態への遷移を考える確率漸化式の問題である。頂点 $A$ にいる状態と、それ以外の頂点（$B, C, D$）にいる状態の2つに分けて推移を考える。

解法1

(1)

$n$ 秒後に点 $P$ が頂点 $A$ にいる確率は $p_n$ であり、頂点 $A$ 以外の頂点にいる確率は $1 - p_n$ である。

$n+1$ 秒後に点 $P$ が頂点 $A$ にいるのは、次の2つの排反な事象のいずれかが起こる場合である。

(i) $n$ 秒後に頂点 $A$ にいて、そのまま1秒間留まる場合 この確率は $p_n \times (1 - a)$ である。

(ii) $n$ 秒後に頂点 $A$ 以外の頂点にいて、1秒間で頂点 $A$ に移動する場合 頂点 $A$ 以外の頂点は3つあり、どの頂点からでも頂点 $A$ に移動する確率は $\frac{a}{3}$ である。したがって、この確率は $(1 - p_n) \times \frac{a}{3}$ である。

(i)、(ii) より、数列 $\{p_n\}$ の漸化式は次のように表される。

$$ p_{n+1} = (1 - a)p_n + \frac{a}{3}(1 - p_n) $$

これを整理して、

$$ p_{n+1} = \left(1 - \frac{4}{3}a\right)p_n + \frac{a}{3} $$

(2)

(1) で求めた漸化式を変形するために、特性方程式 $\alpha = \left(1 - \frac{4}{3}a\right)\alpha + \frac{a}{3}$ を解く。

$$ \frac{4}{3}a\alpha = \frac{a}{3} $$

条件より $0 < a < 1$ であるから $a \neq 0$ であり、

$$ \alpha = \frac{1}{4} $$

よって、漸化式は次のように変形できる。

$$ p_{n+1} - \frac{1}{4} = \left(1 - \frac{4}{3}a\right)\left(p_n - \frac{1}{4}\right) $$

これは、数列 $\left\{p_n - \frac{1}{4}\right\}$ が、公比 $1 - \frac{4}{3}a$ の等比数列であることを示している。

また、初め（0秒後）頂点 $A$ にいた点が1秒後に頂点 $A$ にいる確率 $p_1$ は、もとの頂点に留まる確率であるから、

$$ p_1 = 1 - a $$

したがって、数列 $\left\{p_n - \frac{1}{4}\right\}$ の初項は、

$$ p_1 - \frac{1}{4} = 1 - a - \frac{1}{4} = \frac{3 - 4a}{4} $$

ゆえに、数列 $\left\{p_n - \frac{1}{4}\right\}$ の一般項は、

$$ p_n - \frac{1}{4} = \frac{3 - 4a}{4} \left(1 - \frac{4}{3}a\right)^{n-1} $$

$$ p_n - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \left(1 - \frac{4}{3}a\right) \left(1 - \frac{4}{3}a\right)^{n-1} $$

$$ p_n - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \left(1 - \frac{4}{3}a\right)^n $$

これを $p_n$ について解いて、

$$ p_n = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \left(1 - \frac{4}{3}a\right)^n $$

解説

状態の推移に注目する確率漸化式の標準的な問題である。図形の対称性から、注目する頂点 $A$ に「いる」「いない」の2状態のみで漸化式が立つことが最大のポイントである。

$n$ 回目の試行と $n+1$ 回目の試行の関係を正確に式にする（漸化式を立てる）部分が重要であり、ここができればあとは隣接2項間漸化式を解く計算問題となる。(2) において、$p_0 = 1$ であることを利用し、数列 $\left\{p_n - \frac{1}{4}\right\}$ の初項を $p_0 - \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ として $p_n - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \left(1 - \frac{4}{3}a\right)^n$ を直接導く方法をとると計算が少し早くなる。

答え

(1) $p_{n+1} = \left(1 - \frac{4}{3}a\right)p_n + \frac{a}{3}$

(2) $p_n = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \left(1 - \frac{4}{3}a\right)^n$