北海道大学 2006年 文系 第4問 解説

方針・初手

さいころを投げ続けて「同じ目が2回連続して出た時点」で終了するというルールにおいて、「直前の目と異なる目が出る」か「直前の目と同じ目が出る」かに着目する。 1回目の目は何が出てもよいため、確率は $1$ と考えることができる。2回目以降は、終了しない限り「直前と異なる目（確率 $\frac{5}{6}$）」が出続け、最後に「直前と同じ目（確率 $\frac{1}{6}$）」が出ればよい。この確率の推移を順番に掛け合わせていく。

解法1

(1)

ちょうど3回目に終了するためには、以下の事象が順に起こればよい。 ・1回目：どの目が出てもよい（確率 $1$） ・2回目：1回目と異なる目が出る（確率 $\frac{5}{6}$） ・3回目：2回目と同じ目が出る（確率 $\frac{1}{6}$）

よって、求める確率は以下のようになる。

$$ 1 \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{5}{36} $$

(2)

3回目以内に終了するのは、「ちょうど2回目に終了する」または「ちょうど3回目に終了する」事象であり、これらは互いに排反である。 ちょうど2回目に終了するためには、2回目に1回目と同じ目が出ればよいので、その確率は以下のようになる。

$$ 1 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{6} $$

これと (1) の結果を足し合わせて、求める確率は以下のようになる。

$$ \frac{1}{6} + \frac{5}{36} = \frac{6}{36} + \frac{5}{36} = \frac{11}{36} $$

(3)

ちょうど $r$ 回目に終了するためには、$1$ 回目から $r-1$ 回目までは終了せず（すなわち、毎回直前と異なる目が出続け）、$r$ 回目に終了する（すなわち、直前と同じ目が出る）必要がある。

・1回目：どの目が出てもよい（確率 $1$） ・2回目から $r-1$ 回目までの $r-2$ 回：それぞれ直前と異なる目が出る（各回において確率 $\frac{5}{6}$） ・$r$ 回目：$r-1$ 回目と同じ目が出る（確率 $\frac{1}{6}$）

したがって、求める確率は以下のようになる。

$$ 1 \times \left( \frac{5}{6} \right)^{r-2} \times \frac{1}{6} = \frac{5^{r-2}}{6^{r-1}} $$

解説

「直前の目と同じか異なるか」という状態の推移のみに依存するため、1回目の出目を特定せずに確率 $1$ として出発し、2回目以降の確率を掛け合わせていくのが最も簡明な解法である。

(2) については、余事象「3回目までに終了しない（すなわち、1回目から3回目まで連続して異なる目が出る）」確率を考え、全体から引くアプローチも有効である。この場合、以下のように素早く求めることができる。

$$ 1 - \left( 1 \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \right) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36} $$

(3) は一般化された問題であるが、終了する直前までの $r-2$ 回の試行において確率 $\frac{5}{6}$ が掛けられ続けるという構造を正確に捉えれば容易に立式できる。

答え

(1) $\frac{5}{36}$

(2) $\frac{11}{36}$

(3) $\frac{5^{r-2}}{6^{r-1}}$