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北海道大学 2017年理系第4問解説

譁ｹ驥昴・蛻晄焔

$n$ 蝗樒岼縺ｮ隧ｦ陦後〒繧ｲ繝ｼ繝縺檎ｵゆｺ・☆繧狗｢ｺ邇・$p_n$ 縺ｯ縲√・n-1$ 蝗樒岼縺ｮ隧ｦ陦後ｒ邨ゅ∴縺滓凾轤ｹ縺ｧ縺ｮ轤ｹ $P$ 縺ｮ蠎ｧ讓吶′ $9$ 莉･荳九〒縺ゅｊ縲√°縺､縲・n$ 蝗樒岼縺ｮ隧ｦ陦後〒蜃ｺ縺溽岼繧貞刈縺医ｋ縺ｨ蠎ｧ讓吶′ $10$ 莉･荳翫↓縺ｪ繧狗｢ｺ邇・阪→縺励※豎ゅａ縺ｾ縺吶・

譛ｬ蝠上〒縺ｯ $n=10, 9, 3$ 縺ｨ蜈ｷ菴鍋噪縺ｪ蛟､縺御ｸ弱∴繧峨ｌ縺ｦ縺・ｋ縺溘ａ縲√◎繧後◇繧後・蝗樊焚縺ｧ邨ゆｺ・☆繧九◆繧√・譚｡莉ｶ繧貞・菴鍋噪縺ｫ閠・∴縲∝ｴ蜷医・謨ｰ繧・｢ｺ邇・ｒ險育ｮ励＠縺ｾ縺吶・3) 縺ｫ縺､縺・※縺ｯ縲∫峩謗･蝣ｴ蜷亥・縺代＠縺ｦ豎ゅａ繧区婿豕輔→縲∽ｽ吩ｺ玖ｱ｡繧貞茜逕ｨ縺励※縲・n$ 蝗樒岼縺ｾ縺ｧ縺ｫ邨ゆｺ・☆繧狗｢ｺ邇・阪・蟾ｮ縺九ｉ豎ゅａ繧区婿豕輔′閠・∴繧峨ｌ縺ｾ縺吶・

隗｣豕・

(1)

$10$ 蝗樒岼縺ｮ隧ｦ陦後〒繧ｲ繝ｼ繝縺檎ｵゆｺ・☆繧九◆繧√↓縺ｯ縲・9$ 蝗樒岼縺ｮ隧ｦ陦後ｒ邨ゅ∴縺滓凾轤ｹ縺ｧ縺ｮ轤ｹ $P$ 縺ｮ蠎ｧ讓吶′ $9$ 莉･荳九〒縺ｪ縺代ｌ縺ｰ縺ｪ繧峨↑縺・・

蜷・ｩｦ陦後↓縺翫＞縺ｦ縲∝・縺溽岼縺ｮ謨ｰ縺ｯ蟆代↑縺上→繧・$1$ 縺ｧ縺ゅｋ縺九ｉ縲・9$ 蝗槭・隧ｦ陦悟ｾ後・轤ｹ $P$ 縺ｮ蠎ｧ讓吶・譛蟆上〒繧・$9$ 縺ｧ縺ゅｋ縲ゅ＠縺溘′縺｣縺ｦ縲・9$ 蝗樒岼縺ｮ隧ｦ陦後ｒ邨ゅ∴縺滓凾轤ｹ縺ｧ縺ｮ蠎ｧ讓吶・縺｡繧・≧縺ｩ $9$ 縺ｧ縺ｪ縺代ｌ縺ｰ縺ｪ繧峨★縲√％繧後・ $1$ 蝗樒岼縺九ｉ $9$ 蝗樒岼縺ｾ縺ｧ縺ｮ縺吶∋縺ｦ縺ｮ隧ｦ陦後〒 $1$ 縺ｮ逶ｮ縺悟・縺溷ｴ蜷医・縺ｿ襍ｷ縺薙ｋ縲・

縺薙・遒ｺ邇・・

$$ \left( \frac{1}{6} \right)^9 $$

縺ｧ縺ゅｋ縲・

縺薙・縺ｨ縺阪・10$ 蝗樒岼縺ｮ隧ｦ陦後〒縺ｯ $1$ 縺九ｉ $6$ 縺ｮ縺ｩ縺ｮ逶ｮ縺悟・縺ｦ繧ゅ∫せ $P$ 縺ｮ蠎ｧ讓吶・ $10$ 莉･荳翫→縺ｪ繧翫ご繝ｼ繝縺檎ｵゆｺ・☆繧九ゅ＠縺溘′縺｣縺ｦ縲・10$ 蝗樒岼縺ｮ隧ｦ陦後〒繧ｲ繝ｼ繝縺檎ｵゆｺ・☆繧狗｢ｺ邇・$p_{10}$ 縺ｯ

$$ p_{10} = \left( \frac{1}{6} \right)^9 \times 1 = \left( \frac{1}{6} \right)^9 $$

縺ｨ縺ｪ繧翫・｡梧э縺ｯ遉ｺ縺輔ｌ縺溘・

(2)

$9$ 蝗樒岼縺ｧ繧ｲ繝ｼ繝縺檎ｵゆｺ・☆繧九◆繧√↓縺ｯ縲・8$ 蝗樒岼縺ｮ隧ｦ陦後ｒ邨ゅ∴縺滓凾轤ｹ縺ｧ縺ｮ轤ｹ $P$ 縺ｮ蠎ｧ讓吶′ $9$ 莉･荳九〒縺ｪ縺代ｌ縺ｰ縺ｪ繧峨↑縺・・

$8$ 蝗槭・隧ｦ陦悟ｾ後・蠎ｧ讓吶・譛蟆上〒 $8$ 縺ｧ縺ゅｋ縺九ｉ縲・8$ 蝗樒岼縺ｮ隧ｦ陦後ｒ邨ゅ∴縺滓凾轤ｹ縺ｧ縺ｮ蠎ｧ讓吶・ $8$ 縺ｾ縺溘・ $9$ 縺ｮ縺・★繧後°縺ｧ縺ゅｋ縲・

**(i) $8$ 蝗樒岼縺ｮ隧ｦ陦後ｒ邨ゅ∴縺滓凾轤ｹ縺ｮ蠎ｧ讓吶′ $8$ 縺ｮ蝣ｴ蜷・*

縺薙ｌ縺瑚ｵｷ縺薙ｋ縺ｮ縺ｯ縲・8$ 蝗槭・隧ｦ陦後☆縺ｹ縺ｦ縺ｧ $1$ 縺ｮ逶ｮ縺悟・繧句ｴ蜷医〒縺ゅｊ縲√◎縺ｮ遒ｺ邇・・

$$ \left( \frac{1}{6} \right)^8 $$

縺ｧ縺ゅｋ縲・

縺薙・縺ｨ縺阪・9$ 蝗樒岼縺ｮ隧ｦ陦後〒繧ｲ繝ｼ繝縺檎ｵゆｺ・☆繧九↓縺ｯ縲∝・縺溽岼縺・$2$ 莉･荳翫〒縺ｪ縺代ｌ縺ｰ縺ｪ繧峨↑縺・ゅ◎縺ｮ遒ｺ邇・・ $\frac{5}{6}$ 縺ｧ縺ゅｋ縲ゅｈ縺｣縺ｦ縲√％縺ｮ蝣ｴ蜷医・遒ｺ邇・・

$$ \left( \frac{1}{6} \right)^8 \times \frac{5}{6} = \frac{5}{6^9} $$

**(ii) $8$ 蝗樒岼縺ｮ隧ｦ陦後ｒ邨ゅ∴縺滓凾轤ｹ縺ｮ蠎ｧ讓吶′ $9$ 縺ｮ蝣ｴ蜷・*

縺薙ｌ縺瑚ｵｷ縺薙ｋ縺ｮ縺ｯ縲・8$ 蝗槭・隧ｦ陦後・縺・■ $7$ 蝗槭〒 $1$ 縺ｮ逶ｮ縺悟・縺ｦ縲・1$ 蝗槭□縺・$2$ 縺ｮ逶ｮ縺悟・繧句ｴ蜷医〒縺ゅｋ縲ゅ◎縺ｮ遒ｺ邇・・

$$ {}_8\mathrm{C}_{1} \left( \frac{1}{6} \right)^7 \left( \frac{1}{6} \right)^1 = \frac{8}{6^8} $$

縺ｧ縺ゅｋ縲・

縺薙・縺ｨ縺阪・9$ 蝗樒岼縺ｮ隧ｦ陦後〒縺ｯ縺ｩ縺ｮ逶ｮ縺悟・縺ｦ繧ょｺｧ讓吶・ $10$ 莉･荳翫→縺ｪ繧翫ご繝ｼ繝縺檎ｵゆｺ・☆繧九ゅ◎縺ｮ遒ｺ邇・・ $1$ 縺ｧ縺ゅｋ縲ゅｈ縺｣縺ｦ縲√％縺ｮ蝣ｴ蜷医・遒ｺ邇・・

$$ \frac{8}{6^8} \times 1 = \frac{48}{6^9} $$

(i) 縺ｨ (ii) 縺ｮ莠玖ｱ｡縺ｯ莠偵＞縺ｫ謗貞渚縺ｧ縺ゅｋ縺九ｉ縲・

$$ p_9 = \frac{5}{6^9} + \frac{48}{6^9} = \frac{53}{6^9} $$

(3)

$3$ 蝗樒岼縺ｮ隧ｦ陦後〒蜃ｺ縺溽岼繧偵◎繧後◇繧・$a, b, c$ 縺ｨ縺翫￥縲・3$ 蝗樒岼縺ｧ繧ｲ繝ｼ繝縺檎ｵゆｺ・☆繧区擅莉ｶ縺ｯ

$$ a+b \leqq 9 \quad \text{縺九▽} \quad a+b+c \geqq 10 $$

縺ｧ縺ゅｋ縲・c \leqq 6$ 縺ｧ縺ゅｋ縺九ｉ縲・a+b \geqq 4$ 縺悟ｿ・ｦ√〒縺ゅｋ縲・k = a+b$ 縺ｨ縺翫￥縺ｨ縲・4 \leqq k \leqq 9$ 縺ｧ縺ゅｋ縲ょ推 $k$ 縺ｫ縺､縺・※縲・a+b=k$ 縺ｨ縺ｪ繧・$(a, b)$ 縺ｮ邨・・謨ｰ縺ｨ縲・a+b+c \geqq 10$ 繧呈ｺ縺溘☆ $c$ ($10-k \leqq c \leqq 6$) 縺ｮ驕ｸ縺ｳ譁ｹ縺ｮ謨ｰ繧呈寺縺大粋繧上○繧九・

$k=4$ 縺ｮ縺ｨ縺搾ｼ・ $(a, b) = (1, 3), (2, 2), (3, 1)$ 縺ｮ $3$ 騾壹ｊ縲・c=6$ 縺ｮ $1$ 騾壹ｊ縲・3 \times 1 = 3$ 騾壹ｊ縲・
$k=5$ 縺ｮ縺ｨ縺搾ｼ・ $(a, b)$ 縺ｯ $4$ 騾壹ｊ縲・c=5, 6$ 縺ｮ $2$ 騾壹ｊ縲・4 \times 2 = 8$ 騾壹ｊ縲・
$k=6$ 縺ｮ縺ｨ縺搾ｼ・ $(a, b)$ 縺ｯ $5$ 騾壹ｊ縲・c=4, 5, 6$ 縺ｮ $3$ 騾壹ｊ縲・5 \times 3 = 15$ 騾壹ｊ縲・
$k=7$ 縺ｮ縺ｨ縺搾ｼ・ $(a, b)$ 縺ｯ $6$ 騾壹ｊ縲・c=3, 4, 5, 6$ 縺ｮ $4$ 騾壹ｊ縲・6 \times 4 = 24$ 騾壹ｊ縲・
$k=8$ 縺ｮ縺ｨ縺搾ｼ・ $(a, b)$ 縺ｯ $(2, 6)$ 縺九ｉ $(6, 2)$ 縺ｾ縺ｧ縺ｮ $5$ 騾壹ｊ縲・c \geqq 2$ 縺ｮ $5$ 騾壹ｊ縲・5 \times 5 = 25$ 騾壹ｊ縲・
$k=9$ 縺ｮ縺ｨ縺搾ｼ・ $(a, b)$ 縺ｯ $(3, 6)$ 縺九ｉ $(6, 3)$ 縺ｾ縺ｧ縺ｮ $4$ 騾壹ｊ縲・c \geqq 1$ 縺ｮ $6$ 騾壹ｊ縲・4 \times 6 = 24$ 騾壹ｊ縲・

譚｡莉ｶ繧呈ｺ縺溘☆ $(a, b, c)$ 縺ｮ邨・・邱乗焚縺ｯ

$$ 3 + 8 + 15 + 24 + 25 + 24 = 99 \text{ (騾壹ｊ)} $$

縺吶∋縺ｦ縺ｮ逶ｮ縺ｮ蜃ｺ譁ｹ縺ｯ $6^3 = 216$ 騾壹ｊ縺ｧ縺ゅｋ縺九ｉ縲・

$$ p_3 = \frac{99}{216} = \frac{11}{24} $$

隗｣豕・

(3) 縺ｮ蛻･隗｣

$k$ 蝗樒岼縺ｮ隧ｦ陦後ｒ邨ゅ∴縺滓凾轤ｹ縺ｧ縺ｮ轤ｹ $P$ 縺ｮ蠎ｧ讓吶ｒ $S_k$ 縺ｨ縺吶ｋ縲・

$p_3$ 縺ｯ縲・3$ 蝗樒岼縺ｮ隧ｦ陦後ｒ邨ゅ∴縺滓凾轤ｹ縺ｧ蛻昴ａ縺ｦ蠎ｧ讓吶′ $10$ 莉･荳翫↓縺ｪ繧狗｢ｺ邇・阪〒縺ゅｋ縲ゅ％繧後・縲√・3$ 蝗樒岼縺ｾ縺ｧ縺ｫ蠎ｧ讓吶′ $10$ 莉･荳翫↓縺ｪ繧狗｢ｺ邇・阪°繧峨・2$ 蝗樒岼縺ｾ縺ｧ縺ｫ蠎ｧ讓吶′ $10$ 莉･荳翫↓縺ｪ繧狗｢ｺ邇・阪ｒ蠑輔＞縺溘ｂ縺ｮ縺ｫ遲峨＠縺・・

**(i) $2$ 蝗樒岼縺ｾ縺ｧ縺ｫ蠎ｧ讓吶′ $10$ 莉･荳翫↓縺ｪ繧狗｢ｺ邇・*

$S_2 \geqq 10$ 縺ｨ縺ｪ繧句・逶ｮ縺ｮ邨・粋縺帙・ $\{4, 6\}, \{5, 5\}, \{5, 6\}, \{6, 6\}$ 縺ｧ縺ゅｊ縲・・・繧定・∴繧九→ $(4, 6), (6, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 5), (6, 6)$ 縺ｮ $6$ 騾壹ｊ縺ｧ縺ゅｋ縲ゅｈ縺｣縺ｦ縲√◎縺ｮ遒ｺ邇・・

$$ P(S_2 \geqq 10) = \frac{6}{36} = \frac{36}{216} $$

**(ii) $3$ 蝗樒岼縺ｾ縺ｧ縺ｫ蠎ｧ讓吶′ $10$ 莉･荳翫↓縺ｪ繧狗｢ｺ邇・*

菴吩ｺ玖ｱ｡縺ｧ縺ゅｋ縲・3$ 蝗樒岼邨ゆｺ・凾縺ｮ蠎ｧ讓吶′ $9$ 莉･荳九↓縺ｪ繧狗｢ｺ邇・阪ｒ閠・∴繧九・S_3 \leqq 9$ 縺ｨ縺ｪ繧句・逶ｮ縺ｮ邨・粋縺帙ｒ $S_3$ 縺ｮ蛟､縺ｧ蛻・｡槭＠縺ｦ謨ｰ縺医ｋ縲・

$S_3 = 3$: $\{1, 1, 1\}$ (1騾壹ｊ)
$S_3 = 4$: $\{1, 1, 2\}$ (3騾壹ｊ)
$S_3 = 5$: $\{1, 1, 3\}, \{1, 2, 2\}$ (3+3 = 6騾壹ｊ)
$S_3 = 6$: $\{1, 1, 4\}, \{1, 2, 3\}, \{2, 2, 2\}$ (3+6+1 = 10騾壹ｊ)
$S_3 = 7$: $\{1, 1, 5\}, \{1, 2, 4\}, \{1, 3, 3\}, \{2, 2, 3\}$ (3+6+3+3 = 15騾壹ｊ)
$S_3 = 8$: $\{1, 1, 6\}, \{1, 2, 5\}, \{1, 3, 4\}, \{2, 2, 4\}, \{2, 3, 3\}$ (3+6+6+3+3 = 21騾壹ｊ)
$S_3 = 9$: $\{1, 2, 6\}, \{1, 3, 5\}, \{1, 4, 4\}, \{2, 2, 5\}, \{2, 3, 4\}, \{3, 3, 3\}$ (6+6+3+3+6+1 = 25騾壹ｊ)

縺薙ｌ繧峨ｒ蜷郁ｨ医☆繧九→縲・1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 25 = 81$ 騾壹ｊ縺ｧ縺ゅｋ縲ゅｈ縺｣縺ｦ縲・S_3 \geqq 10$ 縺ｨ縺ｪ繧倶ｺ玖ｱ｡縺ｮ遒ｺ邇・・

$$ P(S_3 \geqq 10) = 1 - \frac{81}{216} = \frac{135}{216} $$

(i) 縺ｨ (ii) 繧医ｊ縲∵ｱゅａ繧狗｢ｺ邇・・

$$ p_3 = P(S_3 \geqq 10) - P(S_2 \geqq 10) = \frac{135}{216} - \frac{36}{216} = \frac{99}{216} = \frac{11}{24} $$

隗｣隱ｬ

(1) 縺ｨ (2) 縺ｯ縲∫ｵゆｺ・屓謨ｰ縺梧怙螟ｧ・・0蝗橸ｼ峨∪縺溘・縺昴ｌ縺ｫ霑代＞讌ｵ遶ｯ縺ｪ蝣ｴ蜷医ｒ閠・∴繧句撫鬘後〒縺吶りｩｦ陦悟屓謨ｰ縺悟､ｧ縺阪＞縺ｻ縺ｩ縲・比ｸｭ縺ｧ $1$ 縺ｮ逶ｮ縺碁｣邯壹＠縺ｦ蜃ｺ縺ｪ縺代ｌ縺ｰ縺ｪ繧峨↑縺・→縺・≧蠑ｷ縺・宛邏・′逕溘§繧九◆繧√∵擅莉ｶ繧呈ｺ縺溘☆蜈ｷ菴鍋噪縺ｪ逶ｮ縺ｮ蜃ｺ譁ｹ繧堤峩謗･譖ｸ縺堺ｸ九☆縺薙→縺後〒縺阪∪縺吶・2) 縺ｧ縺ｯ縲∫峩蜑阪・迥ｶ諷具ｼ・蝗樒岼邨ゆｺ・凾縺ｮ蠎ｧ讓呻ｼ峨′縺ｩ縺薙↓縺・ｋ縺九〒蝣ｴ蜷亥・縺代ｒ縺吶ｋ縺薙→縺後・繧､繝ｳ繝医〒縺吶・

(3) 縺ｯ騾・↓邨ゆｺ・屓謨ｰ縺悟ｰ代↑縺・ｴ蜷医〒縺吶ら峩謗･譚｡莉ｶ繧呈ｺ縺溘☆邨・ｒ謨ｰ縺井ｸ翫￡繧区婿豕包ｼ郁ｧ｣豕・・峨〒繧ょ香蛻・↓蜃ｦ逅・〒縺阪ｋ遽・峇縺ｧ縺吶′縲√・n$ 蝗樒岼縺ｧ邨ゆｺ・☆繧倶ｺ玖ｱ｡縲阪ｒ縲・n$ 蝗樒岼縺ｾ縺ｧ縺ｫ邨ゆｺ・☆繧倶ｺ玖ｱ｡縲阪→縲・n-1$ 蝗樒岼縺ｾ縺ｧ縺ｫ邨ゆｺ・☆繧倶ｺ玖ｱ｡縲阪・蟾ｮ髮・粋縺ｨ縺励※謐峨∴繧玖ｦ也せ・郁ｧ｣豕・・峨ｒ謖√▽縺ｨ縲√ｈ繧願ｦ矩壹＠濶ｯ縺剰ｨ育ｮ励〒縺阪ｋ縺薙→縺後≠繧翫∪縺吶・