北海道大学 2004年 文系 第4問 解説

方針・初手

• 状態遷移を確率漸化式で表す。
• 期待値の計算は、各試行での得点の期待値を足し合わせる「期待値の線形性」を利用すると計算が簡略化できる。
• 確率漸化式は、各状態の確率の和が常に $1$ であることを利用して $1$ 変数の漸化式に帰着させる。

解法1

(1)

1回の試行において、サイコロの目が $1, 3$ である確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$、それ以外の目である確率は $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ である。 すなわち、1回の試行で部屋を移動する確率は $\frac{1}{3}$、同じ部屋にとどまる確率は $\frac{2}{3}$ である。

最初に部屋 $A$ にいるので、$P_A(0) = 1$、$P_B(0) = 0$ である。 1回目の試行後について、

$$ \begin{aligned} P_A(1) &= P_A(0) \times \frac{2}{3} + P_B(0) \times \frac{1}{3} = 1 \times \frac{2}{3} + 0 = \frac{2}{3} \\ P_B(1) &= 1 - P_A(1) = \frac{1}{3} \end{aligned} $$

2回目の試行後について、

$$ \begin{aligned} P_A(2) &= P_A(1) \times \frac{2}{3} + P_B(1) \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{5}{9} \\ P_B(2) &= 1 - P_A(2) = \frac{4}{9} \end{aligned} $$

3回目の試行後について、

$$ \begin{aligned} P_A(3) &= P_A(2) \times \frac{2}{3} + P_B(2) \times \frac{1}{3} = \frac{5}{9} \times \frac{2}{3} + \frac{4}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{14}{27} \\ P_B(3) &= 1 - P_A(3) = \frac{13}{27} \end{aligned} $$

次に、第 $k$ 試行 $(k=1, 2, 3)$ によって得られる点数を $X_k$ とおくと、部屋 $A$ に居る場合は $X_k = 1$、部屋 $B$ に居る場合は $X_k = -1$ である。 したがって、$X_k$ の期待値 $E(X_k)$ は以下のようになる。

$$ E(X_k) = 1 \times P_A(k) + (-1) \times P_B(k) = P_A(k) - P_B(k) $$

これより、各試行で得られる点数の期待値は、

$$ \begin{aligned} E(X_1) &= \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \\ E(X_2) &= \frac{5}{9} - \frac{4}{9} = \frac{1}{9} \\ E(X_3) &= \frac{14}{27} - \frac{13}{27} = \frac{1}{27} \end{aligned} $$

初期の持ち点は $1$ であるから、第 $3$ 試行の結果の持ち点の期待値 $E(3)$ は、期待値の線形性より次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} E(3) &= 1 + E(X_1) + E(X_2) + E(X_3) \\ &= 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} \\ &= \frac{27 + 9 + 3 + 1}{27} \\ &= \frac{40}{27} \end{aligned} $$

(2)

第 $n$ 試行の結果、部屋 $A$ にいる状態から第 $n+1$ 試行で部屋 $A$ にいるのは、部屋を移動しない場合（確率 $\frac{2}{3}$）である。 第 $n$ 試行の結果、部屋 $B$ にいる状態から第 $n+1$ 試行で部屋 $A$ にいるのは、部屋を移動する場合（確率 $\frac{1}{3}$）である。 したがって、$P_A(n+1)$ は次のように表される。

$$ P_A(n+1) = \frac{2}{3}P_A(n) + \frac{1}{3}P_B(n) $$

同様に、$P_B(n+1)$ について推移確率を考えると以下のようになる。

$$ P_B(n+1) = \frac{1}{3}P_A(n) + \frac{2}{3}P_B(n) $$

(3)

常に $P_A(n) + P_B(n) = 1$ が成り立つので、$P_B(n) = 1 - P_A(n)$ を (2) で求めた $P_A(n+1)$ の式に代入する。

$$ \begin{aligned} P_A(n+1) &= \frac{2}{3}P_A(n) + \frac{1}{3}\{1 - P_A(n)\} \\ P_A(n+1) &= \frac{1}{3}P_A(n) + \frac{1}{3} \end{aligned} $$

この漸化式を変形すると、以下のようになる。

$$ P_A(n+1) - \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \left( P_A(n) - \frac{1}{2} \right) $$

よって、数列 $\left\{ P_A(n) - \frac{1}{2} \right\}$ は、初項が $P_A(0) - \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$、公比が $\frac{1}{3}$ の等比数列である。

$$ \begin{aligned} P_A(n) - \frac{1}{2} &= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} \right)^n \\ P_A(n) &= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} \right)^n \end{aligned} $$

また、$P_B(n)$ は以下のように求まる。

$$ \begin{aligned} P_B(n) &= 1 - P_A(n) \\ &= \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} \right)^n \end{aligned} $$

解説

確率漸化式の典型的な問題である。 (1) の期待値計算は、試行ごとの点数を確率変数として分け、「和の期待値は期待値の和になる」という期待値の線形性を用いると、全事象の得点とその確率を列挙して掛けるよりも計算量を大幅に減らすことができる。 (2) では状態の推移確率を正確に立式し、(3) で $P_A(n) + P_B(n) = 1$ を利用して隣接2項間漸化式に帰着させるのがこの分野の基本の解法である。

答え

(1) $P_A(1) = \frac{2}{3}$， $P_A(2) = \frac{5}{9}$， $P_A(3) = \frac{14}{27}$ $P_B(1) = \frac{1}{3}$， $P_B(2) = \frac{4}{9}$， $P_B(3) = \frac{13}{27}$ $E(3) = \frac{40}{27}$

(2) $P_A(n+1) = \frac{2}{3}P_A(n) + \frac{1}{3}P_B(n)$ $P_B(n+1) = \frac{1}{3}P_A(n) + \frac{2}{3}P_B(n)$

(3) $P_A(n) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}\right)^n$ $P_B(n) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}\right)^n$