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北海道大学 1970年理系第2問解説

方針・初手

点 $P, Q$ の座標から、直線 $OP, OQ$ の傾きを考える。$\angle POQ = 45^\circ$ という条件は「2直線のなす角」に関する条件であるため、正接（タンジェント）の加法定理を用いて $x$ と $y$ の関係式を導くのが自然である。

$x$ の変域は、点 $P, Q$ がそれぞれ線分 $AB, BC$ 上にあるという条件から絞り込む。

(2) では、座標を用いた三角形の面積公式を利用して面積を $x, y$ の式で表す。(1) で得た関係式が対称性の高い形をしていることに着目し、相加平均と相乗平均の大小関係を利用して最小値を求める。

解法1

(1)

点 $Q$ は辺 $BC$ 上にあるため $0 \le x \le 4$ であり、点 $P$ は辺 $AB$ 上にあるため $0 \le y \le 3$ である。

点 $Q$ が点 $C$ に一致するとき $x=0$ であり、直線 $OQ$ は $y$ 軸と一致する。このとき、直線 $OP$ とのなす角が $45^\circ$ であるから $\angle AOP = 45^\circ$ となり、$P(4, 4)$ となるが、これは点 $P$ が辺 $AB$ 上にあることに矛盾する。ゆえに $x > 0$ としてよい。

直線 $OQ, OP$ が $x$ 軸の正の向きとなす角をそれぞれ $\alpha, \beta$ とすると、

$$ \tan \alpha = \frac{3}{x}, \quad \tan \beta = \frac{y}{4} $$

図の位置関係より、$\alpha > \beta$ であり、$\angle POQ = \alpha - \beta = 45^\circ$ であるから、

$$ \tan(\alpha - \beta) = \tan 45^\circ = 1 $$

正接の加法定理より、

$$ \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta} = 1 $$

$$ \frac{\frac{3}{x} - \frac{y}{4}}{1 + \frac{3}{x} \cdot \frac{y}{4}} = 1 $$

分母分子に $4x$ を掛けて整理すると、

$$ \frac{12 - xy}{4x + 3y} = 1 $$

$$ 12 - xy = 4x + 3y $$

$$ xy + 4x + 3y - 12 = 0 $$

両辺に $24$ を加えて因数分解すると、

$$ (x+3)(y+4) = 24 $$

よって、$y+4 = \frac{24}{x+3}$ より、

$$ y = \frac{24}{x+3} - 4 $$

次に、$x$ の範囲を求める。点 $P$ は辺 $AB$ 上にあるので $0 \le y \le 3$ である。これに求めた $y$ の式を代入して、

$$ 0 \le \frac{24}{x+3} - 4 \le 3 $$

各辺に $4$ を加えて、

$$ 4 \le \frac{24}{x+3} \le 7 $$

$x>0$ より $x+3 > 0$ であるため、逆数をとって大小関係を入れ替えると、

$$ \frac{1}{7} \le \frac{x+3}{24} \le \frac{1}{4} $$

各辺に $24$ を掛けて、

$$ \frac{24}{7} \le x+3 \le 6 $$

各辺から $3$ を引いて、

$$ \frac{3}{7} \le x \le 3 $$

これは点 $Q$ が辺 $BC$ 上にある条件 $0 \le x \le 4$ を満たしている。したがって、求める $x$ の範囲は $\frac{3}{7} \le x \le 3$ である。

(2)

$\triangle OPQ$ の面積を $S$ とすると、頂点の座標が $O(0, 0), P(4, y), Q(x, 3)$ であるから、

$$ S = \frac{1}{2} |4 \cdot 3 - x \cdot y| = \frac{1}{2} |12 - xy| $$

(1) の導出過程より $12 - xy = 4x + 3y$ であり、$x>0, y \ge 0$ であるから $4x + 3y > 0$ である。よって、絶対値記号をそのまま外すことができる。

$$ S = \frac{1}{2} (4x + 3y) $$

式を変形して、(1) で得た $(x+3)(y+4) = 24$ を利用する形を作る。

$$ S = \frac{1}{2} \{4(x+3) + 3(y+4) - 24\} $$

ここで、$x>0, y \ge 0$ より $4(x+3) > 0, 3(y+4) > 0$ であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より、

$$ 4(x+3) + 3(y+4) \ge 2 \sqrt{4(x+3) \cdot 3(y+4)} = 2 \sqrt{12(x+3)(y+4)} $$

$(x+3)(y+4) = 24$ を代入して、

$$ 4(x+3) + 3(y+4) \ge 2 \sqrt{12 \cdot 24} = 2 \sqrt{288} = 24\sqrt{2} $$

等号が成立するのは、$4(x+3) = 3(y+4)$ のときである。このとき、$(x+3) \cdot \frac{4}{3}(x+3) = 24$ より $(x+3)^2 = 18$ となり、$x+3>0$ より $x+3 = 3\sqrt{2}$、すなわち $x = 3\sqrt{2} - 3$ である。

$\sqrt{2} \approx 1.414$ より $x \approx 1.242$ となり、これは (1) で求めた範囲 $\frac{3}{7} \le x \le 3$ を満たす。したがって、$S$ の最小値は、

$$ S \ge \frac{1}{2} (24\sqrt{2} - 24) = 12(\sqrt{2} - 1) $$

解法2

(1) の別解

ベクトル $\vec{OQ} = (x, 3)$ を原点の周りに $-45^\circ$ 回転させたベクトルは、直線 $OP$ 上にあり、ベクトル $\vec{OP} = (4, y)$ と同じ向きとなる。

点 $Q$ を表す複素数を $z_Q = x + 3i$ とすると、これを原点中心に $-45^\circ$ 回転させた複素数 $z'$ は、

$$ \begin{aligned} z' &= (x + 3i) \left\{ \cos(-45^\circ) + i\sin(-45^\circ) \right\} \\ &= (x + 3i) \left( \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}i \right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left\{ x + 3 + i(3 - x) \right\} \end{aligned} $$

この点が表す座標 $\left( \frac{x+3}{\sqrt{2}}, \frac{3-x}{\sqrt{2}} \right)$ は直線 $OP$ 上にある。

直線 $OP$ は原点を通り、傾き $\frac{y}{4}$ の直線であるから、方程式は $yX - 4Y = 0$ と表せる。これに代入すると、

$$ y \cdot \frac{x+3}{\sqrt{2}} - 4 \cdot \frac{3-x}{\sqrt{2}} = 0 $$

両辺に $\sqrt{2}$ を掛けて整理すると、

$$ y(x+3) - 4(3-x) = 0 $$

$$ y(x+3) = 12 - 4x $$

$$ y = \frac{-4(x+3) + 24}{x+3} = \frac{24}{x+3} - 4 $$

$x$ の範囲は解法1と同様の手順で求められる。