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北海道大学 1970年理系第4問解説

方針・初手

(1) 積分変数が $t$ であることに着目し、被積分関数を展開して $x$ を積分の外に出してから $x$ で微分するか、あるいは先に部分積分法を用いて定積分を計算してから $x$ で微分する。上端が $x^2$ であるため、微分する際に合成関数の微分法を用いることに注意する。

(2) 極限の式から $\frac{1}{n}$ をくくり出し、$\frac{k}{n}$ の関数を作ることで区分求積法を用いて定積分に変形する。定積分は三角関数を用いた置換積分によって計算する。

解法1

(1)

与式を $x$ の関数とみなし、$f(x)$ とおく。

$$ f(x) = \int_{0}^{x^2} (x-t) \cos t dt $$

積分変数は $t$ であるから、$x$ を定数とみなして積分の外に出すように式を変形する。

$$ f(x) = x \int_{0}^{x^2} \cos t dt - \int_{0}^{x^2} t \cos t dt $$

両辺を $x$ で微分する。第1項は積の微分法と合成関数の微分法を用いる。

$$ \frac{d}{dx} f(x) = 1 \cdot \int_{0}^{x^2} \cos t dt + x \cdot \left( \cos x^2 \right) \cdot (x^2)' - \left( x^2 \cos x^2 \right) \cdot (x^2)' $$

$$ = \int_{0}^{x^2} \cos t dt + x \left( \cos x^2 \right) \cdot 2x - x^2 \cos x^2 \cdot 2x $$

$$ = \left[ \sin t \right]_{0}^{x^2} + 2x^2 \cos x^2 - 2x^3 \cos x^2 $$

$$ = \sin x^2 + 2x^2(1-x) \cos x^2 $$

(2)

与えられた極限の式を区分求積法が使える形に変形する。シグマの中の分母分子を $n$ で割ることで $\frac{1}{n}$ と $\frac{k}{n}$ を作り出す。

$$ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{4n^2 - k^2}} $$

$$ = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n \sqrt{4 - \left(\frac{k}{n}\right)^2}} $$

$$ = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{4 - \left(\frac{k}{n}\right)^2}} $$

区分求積法より、この極限は次の定積分で表される。

$$ = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} dx $$

この定積分を計算するために、$x = 2 \sin \theta$ と置換する。

$x$ と $\theta$ の対応は次のようになる。 $x = 0$ のとき $\theta = 0$ $x = 1$ のとき $\theta = \frac{\pi}{6}$

また、$dx = 2 \cos \theta d\theta$ であり、$0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{6}$ において $\cos \theta > 0$ であるから、

$$ \sqrt{4 - x^2} = \sqrt{4 - 4 \sin^2 \theta} = 2 \cos \theta $$

となる。よって、

$$ \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{2 \cos \theta} \cdot 2 \cos \theta d\theta $$

$$ = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} 1 d\theta $$

$$ = \left[ \theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{6}} $$

$$ = \frac{\pi}{6} $$

解法2

(1) の別解

定積分を先に計算してから $x$ で微分する。部分積分法を用いて定積分を計算する。

$$ \int_{0}^{x^2} (x-t) \cos t dt = \left[ (x-t) \sin t \right]_{0}^{x^2} - \int_{0}^{x^2} (-1) \sin t dt $$

$$ = (x - x^2) \sin x^2 - (x - 0) \sin 0 + \int_{0}^{x^2} \sin t dt $$

$$ = (x - x^2) \sin x^2 + \left[ -\cos t \right]_{0}^{x^2} $$

$$ = (x - x^2) \sin x^2 - \cos x^2 + 1 $$

これを $x$ で微分する。

$$ \frac{d}{dx} \left\{ (x - x^2) \sin x^2 - \cos x^2 + 1 \right\} $$

$$ = (1 - 2x) \sin x^2 + (x - x^2) \left( \cos x^2 \cdot 2x \right) - \left( -\sin x^2 \cdot 2x \right) $$

$$ = (1 - 2x) \sin x^2 + 2x(x - x^2) \cos x^2 + 2x \sin x^2 $$

$$ = \sin x^2 + 2x^2(1 - x) \cos x^2 $$

解説

(1) は定積分で表された関数の微分の基本問題である。被積分関数に $x$ が含まれる場合は、解法1のように積分変数 $t$ と無関係な $x$ を積分の外に出してから微分するのが定石である。定積分の公式 $\frac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f(t)dt = f(g(x))g'(x)$ を用いる際、合成関数の微分によって $g'(x)$ を掛けることを忘れないようにしたい。また、本問のように被積分関数が容易に積分できる関数の場合は、解法2のように直接積分してから微分しても無理なく計算できる。

(2) は区分求積法の典型問題である。和の式から $\frac{1}{n}$ を無理やりくくり出すことで、$\sum$ の中身を $\frac{k}{n}$ の関数として整理することが第一歩となる。帰着された定積分は $\sqrt{a^2 - x^2}$ の形を含むため、$x = a \sin \theta$ と置換する標準的な手法を用いて計算する。